Câu hỏi:
2 năm trước
Một hình trụ có thể tích \(8{m^3}\) không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ đó là nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)\)
Ta có \(8 = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \dfrac{8}{{\pi {R^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hình trụ \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{8}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{16}}{R} + 2\pi {R^2}\)
\( = \dfrac{8}{R} + \dfrac{8}{R} + 2\pi {R^2}\mathop \ge \limits_{\cos i} 3\sqrt[3]{{\dfrac{8}{R}.\dfrac{8}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi 64}} = 12\sqrt[3]{{2\pi }}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{8}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{4}{\pi }}}\)
Vậy với \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{4}{\pi }}}\) thì \({S_{tp}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(12\sqrt[3]{{2\pi }}\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức diện thể tích của hình trụ \(V = \pi {R^2}h\) và công thức diện tích toàn phần \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a,b,\,c\) là \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\)
