Góc ở tâm- Số đo cung

Xét tứ giác $ODNC$ có $\widehat {COD} + \widehat {OCN} + \widehat {CND} + \widehat {ODN} = 360^\circ$

$\Rightarrow \widehat {COD} = 360^\circ  - \widehat {OCN} - \widehat {ODN} - \widehat {CND} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

Suy ra số đo cung nhỏ $CD$ là $120^\circ$; số đo cung lớn $CD$ là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ$.

Vì $NC,ND$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên  $ON$ là tia phân giác của $\widehat {COD}$; $NO$ là tia phân giác của $\widehat {CND}$ hay $\widehat {DNO} = \dfrac{1}{2}\widehat {DMC} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Mà tam giác $ODN$ vuông tại $D$ (do $ND$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {DON} = 90^\circ  - \widehat {DNO} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$

Mà $ON$ là tia phân giác của $\widehat {COD}$ nên $\widehat {NOC} = \widehat {NOD} = 60^\circ$.

Vậy $\widehat {DNO} = 30^\circ ;\widehat {NOC} = 60^\circ$

Vì $NC,ND$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên  $ON$ là tia phân giác của $\widehat {COD}$; $NO$ là tia phân giác của $\widehat {CND}$ hay $\widehat {DNO} = \dfrac{1}{2}\widehat {DMC} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Mà tam giác $ODN$ vuông tại $D$ (do $ND$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {DON} = 90^\circ  - \widehat {DNO} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$

Mà $ON$ là tia phân giác của $\widehat {COD}$ nên $\widehat {NOC} = \widehat {NOD} = 60^\circ$.

Vậy $\widehat {DNO} = 30^\circ ;\widehat {NOC} = 60^\circ$

Vì tam giác $ABC$ đều có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $O$ cũng là giao ba đường phân giác nên $BO;CO$ lần lượt là các đường phân giác $\widehat {ABC}$;  $\widehat {ACB}$.

Ta có $\widehat {BCO} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$;$\widehat {CBO} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$

Xét tam giác $BOC$ có $\widehat {BOC} = 180^\circ  - \widehat {CBO} - \widehat {BCO} = 180^\circ  - 30^\circ  - 30^\circ  = 120^\circ$

Do đó số đo cung nhỏ $BC$ là $120^\circ .$

Theo câu trước ta có $\widehat {BMO} = 45^\circ$ . Xét tam giác $OBM$ vuông tại $B$ (do $BM$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$) có $\widehat {BMO} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {BOM} = 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat {AOB}$

Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {BOM} = 2.45^\circ  = 90^\circ$ mà $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $AB$

Nên số đo cung nhỏ $AB$ là $90^\circ$ suy ra số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ  - 90^\circ  = 270^\circ$ .

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $A$ ta có $\sin \widehat {BMO} = \dfrac{{OB}}{{OM}} = \dfrac{R}{{\sqrt 2 R}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BMO} = 45^\circ$

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $A$ ta có $\sin \widehat {BMO} = \dfrac{{OB}}{{OM}} = \dfrac{R}{{\sqrt 2 R}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BMO} = 45^\circ$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$ ta có $\sin \widehat {MOI} = \dfrac{{MI}}{{MO}} = \dfrac{{\sqrt 2 R}}{2}:R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOI} = 45^\circ$

$\Delta MON$ cân tại $O$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\widehat {MON} = 2\widehat {MOI} = 2.45^\circ  = 90^\circ$

Suy ra số đo cung nhỏ $MN$ là $90^\circ$.

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow MI = IN = \dfrac{{\sqrt 2 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2} \Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 R}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 2 R}}{2}$

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow MI = IN = \dfrac{{\sqrt 2 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2} \Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 R}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 2 R}}{2}$

Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 36^\circ  \Rightarrow \widehat {KBO} = \widehat {ICO} = \dfrac{{180^\circ  - 36^\circ }}{2} = 72^\circ$

Xét tam giác $OKB$cân tại $O$ có $\widehat {KBO} = 72^\circ  \Rightarrow \widehat {KOB} = 180^\circ  - 2.72^\circ  = 36^\circ$

Theo câu trước ta có $\widehat {IOC} = \widehat {KOB} = 36^\circ$

Suy ra $\widehat {IOK} = 180^\circ  - 36^\circ  - 36^\circ  = 108^\circ$.

Xét các tam giác $\Delta IBC$ và $\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$

Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$

Xét  hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và $\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IC = BK$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $\Delta COI = \Delta {\rm B}OK\left( {c - c - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {COI} = \widehat {KOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CI$ và $BK$ bằng nhau.

Xét các tam giác $\Delta IBC$ và $\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$

Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$

Xét  hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và $\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IC = BK$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $\Delta COI = \Delta {\rm B}OK\left( {c - c - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {COI} = \widehat {KOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CI$ và $BK$ bằng nhau.

Xét đường tròn$\left( O \right)$ có $OA \bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $CD.$

Xét tam giác $OHC$ vuông tại $H$ có $\cos \widehat {HOC} = \dfrac{{OH}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}}}{R} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {HOC} = 30^\circ$

Mà tam giác $OCD$ cân tại $O\left( {OC = OD = R} \right)$  có $OH$ là đường cao nên $OH$ cũng là đường phân giác, suy ra $\widehat {DOC} = 2.\widehat {COH} = 2.30^\circ  = 60^\circ$

Do đó số đo cung nhỏ $CD$ là $60^\circ$ và số đo cung lớn $CD$ là $360^\circ  - 60^\circ  = 300^\circ$.

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn.

Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên  $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ$.

Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ  - \widehat {AMO} = 65^\circ$

Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ$.

Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ.$

Xét tứ giác $OAMB$ có

$\widehat {BOA} + \widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB} = 360^\circ  \Rightarrow \widehat {BOA} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  - 50^\circ  = 130^\circ$

Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ là $130^\circ$; số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ  - 130^\circ  = 230^\circ$.

Vì tam giác $ABC$ đều có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $O$ cũng là giao ba đường phân giác nên $AO;CO$ lần lượt là các đường phân giác $\widehat {BAC}$;  $\widehat {ACB}$.

Ta có $\widehat {CAO} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$;$\widehat {ACO} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$

Xét tam giác $AOC$ có $\widehat {AOC} = 180^\circ  - \widehat {CAO} - \widehat {ACO} = 120^\circ$ nên số đo cung nhỏ $AC$ là $120^\circ$.

Do đó số đo cung lớn $AC$ là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ$.