Góc ở tâm- Số đo cung

Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat {AOB}$

Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ  = 120^\circ$ mà $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $AB$

Nên số đo cung nhỏ $AB$ là $120^\circ$.

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $\Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$

$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}}$$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}}  =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$ ta có $\sin \widehat {MOI} = \dfrac{{MI}}{{MO}} = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}:R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOI} = 60^\circ$

$\Delta MON$ cân tại $O$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\widehat {MON} = 2\widehat {MOI} = 2.60^\circ  = 120^\circ$

Suy ra số đo cung nhỏ $MN$ là $120^\circ$.

Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$

Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$

Xét  hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ACB} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$

Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 40^\circ  \Rightarrow \widehat {KBO} = \widehat {ICO} = 70^\circ$

Xét tam giác $OKB$cân tại $O$ có $\widehat {KBO} = 70^\circ  \Rightarrow \widehat {KOB} = 180^\circ  - 2.70^\circ  = 40^\circ$

Tương tự ta có $\widehat {IOC} = 40^\circ$

Suy ra $\widehat {IOK} = 180^\circ  - 40^\circ  - 40^\circ  = 100^\circ$

Xét đường tròn$\left( O \right)$ có $OA \bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $CD$

Tứ giác $OCAD$ có hai đường chéo vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên $OCAD$ là hình thoi.

$\Rightarrow OC = CA$ mà $OC = OA$ nên $OC = OA = AC$ hay tam giác $OAC$ đều $\Rightarrow \widehat {COA} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {COD} = 120^\circ$

Do đó số đo cung nhỏ $CD$ là $120^\circ$ và số đo cung lớn $CD$ là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ$.

Xét $\left( O \right)$ có $CD \bot OA;ED{\rm{//}}OA \Rightarrow CD \bot ED$ hay $\widehat {EDC} = 90^\circ$ mà $E;D;C \in \left( O \right)$ nên $EC$ là đường kính của $\left( O \right)$ hay $E;O;C$ thẳng hàng.

Do đó $\widehat {BOE} = \widehat {COA} = 55^\circ$ (đối đỉnh) nên số đo cung nhỏ $BE$ là $55^\circ$.