Tính giá trị biểu thức \({\sin ^2}{10^ \circ } + {\sin ^2}{20^ \circ } + \,\,\,...\,\,\, + {\sin ^2}{70^ \circ } + {\sin ^2}{80^ \circ }\)
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \({\sin ^2}80^\circ = {\cos ^2}10^\circ ;{\sin ^2}70^\circ = {\cos ^2}20^\circ ;{\sin ^2}60^\circ = {\cos ^2}30^\circ ;{\sin ^2}50^\circ = {\cos ^2}40^\circ \) và \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
Nên \({\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + {\sin ^2}30^\circ + {\sin ^2}40^\circ + {\sin ^2}50^\circ + {\sin ^2}60^\circ + {\sin ^2}70^\circ + {\sin ^2}80^\circ \)
\( = {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + {\sin ^2}30^\circ + {\sin ^2}40^\circ + {\cos ^2}40 + {\cos ^2}30^\circ + {\cos ^2}20^\circ + {\cos ^2}10^\circ \)
\( = \left( {{{\sin }^2}10^\circ + {{\cos }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ + {{\cos }^2}20^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}30^\circ + {{\cos }^2}30^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}40^\circ + {{\cos }^2}40^\circ } \right)\)
\( = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.\)
Vậy giá trị cần tìm là \(4.\)
Hướng dẫn giải:
Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")
Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).