Tính giá trị biểu thức ${\sin ^2}{10^ \circ } + {\sin ^2}{20^ \circ } + \,\,\,...\,\,\, + {\sin ^2}{70^ \circ } + {\sin ^2}{80^ \circ }$

Ta có ${\sin ^2}80^\circ  = {\cos ^2}10^\circ ;{\sin ^2}70^\circ  = {\cos ^2}20^\circ ;{\sin ^2}60^\circ  = {\cos ^2}30^\circ ;{\sin ^2}50^\circ  = {\cos ^2}40^\circ$ và ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

Nên ${\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}20^\circ  + {\sin ^2}30^\circ  + {\sin ^2}40^\circ  + {\sin ^2}50^\circ  + {\sin ^2}60^\circ  + {\sin ^2}70^\circ  + {\sin ^2}80^\circ$

$= {\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}20^\circ  + {\sin ^2}30^\circ  + {\sin ^2}40^\circ  + {\cos ^2}40 + {\cos ^2}30^\circ  + {\cos ^2}20^\circ  + {\cos ^2}10^\circ$

$= \left( {{{\sin }^2}10^\circ  + {{\cos }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ  + {{\cos }^2}20^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}30^\circ  + {{\cos }^2}30^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}40^\circ  + {{\cos }^2}40^\circ } \right)$

$= 1 + 1 + 1 + 1 = 4.$

Vậy giá trị cần tìm là $4.$