Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0\) (1)

Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn $x$ và tham số $m$.

Xét: \(\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {{m^2} + m + 1} \right) = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} - m - 1 =  - 7m + 8\).

\( \bullet \) Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow  - 7m + 8 < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{8}{7}\).

\( \bullet \) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow  - 7m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}\).

\( \bullet \) Phương trình đã cho có $2$  nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow  - 7m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{8}{7}\).

Như vậy

+ Với $m=3>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên A sai.

+ Với $m=-1<\dfrac{8}{7}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên B sai.

+ Với $ m=2>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên C đúng, D sai.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.