Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 1} \right) = 0\) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt: \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {2m - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 8m + 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 8 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\left( {\forall m} \right)\)
Vậy với mọi $m$ phương trình đã cho luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m + 4\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5\)
Vậy $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$ là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Hướng dẫn giải:
Tìm điều kiện của $m$ để hệ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Viet để tính tổng $2$ nghiệm và tích $2$ nghiệm.
Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để triệt tiêu $m$ từ $2$ phương trình, rút về $1$ phương trình là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$.