Phương trình \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

Phương trình: \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right).\)

Ta thấy: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.

Với: \(x \ne 0\), ta chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt: \(x - \dfrac{2}{x} = t\)  \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\).

Có: \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biết: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 2\end{array} \right..\)

+) Với \(t = 1 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

+) Với \(t = 2 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0\).

Có: \(\Delta ' = 1 + 2 = 3 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 - \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.