Cho phương trình: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\)  (1)

Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1).

Giá trị của $S$ là:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - x + 2 \ne 0\\3{x^2} + 5x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\x \ne  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình.

Xét \(x \ne 0\) ta có: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1 \)\(\Rightarrow \dfrac{2}{{3x - 1 + \dfrac{2}{x}}} - \dfrac{7}{{3x + 5 + \dfrac{2}{x}}} = 1\).

Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\) ta được: $\dfrac{2}{{t - 1}} - \dfrac{7}{{t + 5}} = 1 \Rightarrow 2\left( {t + 5} \right) - 7\left( {t - 1} \right) = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 5} \right)$.

\( \Leftrightarrow 2t + 10 - 7t + 7 = {t^2} + 5t - t - 5 \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 22 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)(t + 11) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 11\end{array} \right.\)

\( \circ \) Nếu \(t = 2 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = 2 \Rightarrow 3{x^2} - 2x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (Vô nghiệm).

\( \circ \) Nếu \(t =  - 11 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} =  - 11 \Rightarrow 3{x^2} + 11x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\) (Thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có $2$  nghiệm \(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\).

Suy ra tổng $2$  nghiệm \(S =  - \dfrac{{11}}{3}\).