Bài tập ôn tập chương 4

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{12(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} - \dfrac{{8(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ \Leftrightarrow 12(x + 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x + 1)\\ \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0\end{array}$.

Có: $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} + 21 = 25 > 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = 2 + \sqrt {25}  = 7\,\,\,\left( {tm} \right);\,\,\,\,{x_2} = 2 - \sqrt {25}  =  - 3\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {$- 3;7\,$}.

$x - 3\sqrt x  + m - 4 = 0$ (1).  Đk: $x \ge 0.$

Đặt: $\sqrt x  = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ $\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + m - 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt không âm.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right) > 0\\3 > 0\,\,\,\forall m\\m - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m + 16 > 0\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{25}}{4}\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le m < \dfrac{{25}}{4}.$

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m = 0$.

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình trên có 2 nghiệm dương  phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = 25$.

Do đó, m phải thỏa mãn các điều kiện sau:

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 8m > 0\\m + 1 > 0\\2m > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt 8 \\m > 3 + \sqrt 8 \end{array} \right.\\m >  - 1\\m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 6$

Xét phương trình: ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ ta có:

$\Delta ' = {m^2} - 1.\left( {2m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}$

Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 2{\rm{[}}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}{\rm{]}} - 5{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 5{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9{x_1}{x_2} =  - 1\,\,\,(*)\end{array}$ 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l}2{(2m)^2} - 9\left( {2m - 1} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 2.4{m^2} - 18m + 9 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 18m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (m - 1)(4m - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,(ktm)\\m = \dfrac{5}{4}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy với $m = \dfrac{5}{4}$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Xét phương trình: ${x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0$ ta có:

$\begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 1 \\= {m^2} - 2m + 1 + m + 1 = {m^2} - m + 2\\\Delta '\, = {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \\= {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\,\\ \Rightarrow  \Delta ' > 0\,\,\forall m\end{array}$.

Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt: $x{}_1,\,{x_2}$ với mọi giá trị của $m$.

Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0\\ - m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m >  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} =  - (m + 1)\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow  - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\end{array}$

Vậy $\left\{ \begin{array}{l} m > - 1\\ m > \dfrac{1}{3} \end{array} \right. \Rightarrow m > \dfrac{1}{3}$