Cho phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm nhỏ hơn $2$.

Xét phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\) ta có:

$\begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 1 \\= {m^2} - 2m + 1 + m + 1 = {m^2} - m + 2\\\Delta '\, = {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \\= {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\,\\ \Rightarrow  \Delta ' > 0\,\,\forall m\end{array}$.

Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt: \(x{}_1,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m\).

Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0\\ - m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m >  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} =  - (m + 1)\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow  - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\end{array}$

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
m > - 1\\
m > \dfrac{1}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow m > \dfrac{1}{3}\)