Cho phương trình: ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$.

Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: $2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 5{x_1}{x_2} =  - 1$.

Xét phương trình: ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ ta có:

$\Delta ' = {m^2} - 1.\left( {2m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}$

Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 2{\rm{[}}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}{\rm{]}} - 5{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 5{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9{x_1}{x_2} =  - 1\,\,\,(*)\end{array}$ 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l}2{(2m)^2} - 9\left( {2m - 1} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 2.4{m^2} - 18m + 9 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 18m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (m - 1)(4m - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,(ktm)\\m = \dfrac{5}{4}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy với $m = \dfrac{5}{4}$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.