Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bước 1:

$f'\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Bước 2:

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:y =  - 3x + 4$ nên

$f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{3}$$\Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.$

Bước 3:

Với $x = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2.2 - 1}}{{2 + 1}} = 1$

Tiếp tuyến tại điểm (2;1) là $y = \dfrac{1}{3}.\left( {x - 2} \right) + 1 = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}$

Với $x =  - 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2.\left( { - 4} \right) - 1}}{{ - 4 + 1}} = 3$

Tiếp tuyến tại điểm (-4;3) là $y = \dfrac{1}{3}.\left( {x + 4} \right) + 3 = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{{13}}{3}$

Vậy tiếp tuyến là $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}$ hoặc $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{{13}}{3}$.

Bước 1:

Gọi $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.

Ta có

$\left( \Delta  \right)//\left( d \right) \Rightarrow$$f'\left( {{x_0}} \right)$

$f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0} - 3$

Bước 2:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (D)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x_0}^2 - 6{x_0} - 3 = 6\\ \Leftrightarrow x_0^2 - 2{x_0} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{x_0} = 3\end{array} \right.\end{array}$

Bước 3:

Với ${x_0} =  - 1$

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) =  - 1$.

Phương trình tiếp tuyến: $y = 6\left( {x + 1} \right) - 1 = 6x + 5\left( L \right)$

Với ${x_0} = 3$

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) =  - 9$.

Phương trình tiếp tuyến: $y = 6\left( {x - 3} \right) - 9 = 6x - 27$

Vậy tiếp tuyến cần tìm là $y = 6x - 27$.

Bước 1:

$\begin{array}{l}y' = \left( {{{\cos }^2}x - m\sin x} \right)'\\ = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right) - m.\cos x\\ =  - \sin 2x - m\cos x\end{array}$

Bước 2:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = \pi$ là

$\begin{array}{l}f'\left( \pi  \right) =  - \sin 2\pi  - m.\cos \pi \\ =  - m\left( { - 1} \right) = m\end{array}$

Bước 3:

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y =  - x$ nên ta có:

$f'\left( \pi  \right) = 1 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy $m = 1$.

$y = {x^2} \Rightarrow y' = 2x$.

$y'\left( { - 1} \right) =  - 2$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y =  - 2\left( {x + 1} \right) + 1$$\Leftrightarrow y =  - 2x - 1$.

Gọi $M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.

Ta có ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0$.

$y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x-2} \right) = {x^3} - 3x + 2$$\Rightarrow y' = 3{x^2} - 3$$\Rightarrow y'\left( 2 \right) = 9$.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 9\left( {x - 2} \right) + 0$$\Leftrightarrow y = 9x - 18$.

Gọi $M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.

Ta có ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 2$.

$y = x{\left( {3 - x} \right)^2} = {x^3} - 6{x^2} + 9x$$\Rightarrow y' = 3{x^2} - 12x + 9$$\Rightarrow y'\left( 2 \right) =  - 3$.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y =  - 3\left( {x - 2} \right) + 2$$\Leftrightarrow y =  - 3x + 8$.

$y = \dfrac{{{x^2} + x}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

$y'\left( 1 \right) =  - 5$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y =  - 5\left( {x - 1} \right) - 2$$\Leftrightarrow y =  - 5x + 3$.

$y = \tan x$$\Rightarrow y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = \tan x$ tại điểm có hoành độ $x = \dfrac{\pi }{4}$ là $k = y'\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 2$.

Xét phương trình $\dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x + 2 = 2$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Do đó tiếp điểm $A\left( {0;2} \right)$.

Ta có : $y' = {x^2} - 6x + 7$

Hệ số góc tiếp tuyến $y'\left( 0 \right) = 7$

Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {0;2} \right)$ là : $y = 7\left( {x - 0} \right) + 2 = 7x + 2$.

Ta có : $\left( P \right)$ cắt trục tung tại điểm $M\left( {0;3} \right)$.

$y' = 4x - 1$

Hệ số góc tiếp tuyến : $y'\left( 0 \right) =  - 1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( P \right)$ tại $M\left( {0;3} \right)$ là

$y =  - 1\left( {x - 0} \right) + 3 =  - x + 3$.

$y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ với ${x_0} \ne 2$ là:

$y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}$.

Vì tiếp tuyến đi qua điểm $\left( {-6;5} \right)$ nên ta có $5 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( { - 6 - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}$$\Leftrightarrow 4x_0^2 - 24{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 6\end{array} \right.$

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = -x-1$ và $y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{2}$.

Bước 1:

$d:3y-x + 6 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x - 2 \Rightarrow {k_d} = \dfrac{1}{3}$.

Gọi $M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $y' = \dfrac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

Bước 2:

Tiếp tuyến vuông góc với $d$$\Rightarrow {k_{tt}}.{k_d} =  - 1$$\Leftrightarrow {k_{tt}} =  - \dfrac{1}{{{k_d}}} =  - 3 \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) =  - 3$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x_0^2 + 4{x_0} + 3}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} =  - 3$$\Leftrightarrow 4x_0^2 + 16{x_0} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - \dfrac{3}{2}\\{x_0} =  - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.$.

Với ${x_0} =  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{3}{2}$$\Rightarrow$ pttt: $y =  - 3\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right) + \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow y =  - 3x - 3$.

Với ${x_0} =  - \dfrac{5}{2} \Rightarrow {y_0} =  - \dfrac{7}{2}$$\Rightarrow$ pttt: $y =  - 3\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right) - \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow y =  - 3x - 11$.

$y = \dfrac{{3x + 4}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \dfrac{{3x + 4}}{{x - 1}}$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ với ${x_0} \ne 2$ là:

$y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} - 1}}$.

Vì tiếp tuyến đi qua điểm $\left( {2;\,3} \right)$ nên ta có $3 = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {2 - {x_0}} \right) + \dfrac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} - 1}}$$\Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{3}{2}$.

Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = -28x + 59$.

Gọi $M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)$. Ta có $y' = 3{x^2} - 6x$.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ là $k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0} = 3{\left( {{x_0} - 1} \right)^2} - 3 \ge  - 3$

Vậy $k$ bé nhất bằng $- 3$ khi ${x_0} = 1$, ${y_0} =  - 3$.

$A\left( {0;-1} \right)$$\in \left( C \right):y = \dfrac{{ax + b}}{{x - 1}}$$\Rightarrow \dfrac{b}{{ - 1}} =  - 1 \Leftrightarrow b = 1$.

Ta có $y' = \dfrac{{ - a - b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm $A$ là $k = y'\left( 0 \right) =  - a - b =  - 3$$\Leftrightarrow a = 3 - b = 2$.

Bước 1:

$y' = 6{x^2} - 6x$

Bước 2:

$y'\left( { - 1} \right) = 12$

Bước 1:

$\begin{array}{l}{x_0} =  - 2\\y' = 3{x^2} - 2x\\y'\left( { - 2} \right) = 16\\y\left( { - 2} \right) =  - 12\end{array}$

Bước 2:

Tiếp tuyến tại ${x_0} =  - 2$ là:

$y = 16\left( {x + 2} \right) - 12 = 16x + 20$

Bước 1:

Ta có: $y' = {x^2} - 4x + 2$.

Bước 2:

Gọi hoành độ của điểm $M$ là ${x_0} \Rightarrow$ Hệ số góc của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm $M$ là $k = y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^2 - 4{x_0} + 2$.

Bước 3:

$\Rightarrow k = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 2 \ge  - 2$.

Bước 4:

Do đó ${k_{\min }} =  - 2 \Leftrightarrow {x_0} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2$.

Ta có $f\left( 2 \right) =  - 1 \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right)$.

Bước 1:

${y^\prime } = \left( {{x^3} - 4{x^2} + 1} \right)' = 3{x^2} - 8x$

Bước 2:

Thay x=1 vào đạo hàm ta được:

$y'(1) = 3 - 8 =  - 5$

Bước 1:

Ta có: $f'\left( x \right) = \dfrac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}$

Bước 2:

Thay $x = 0$ vào $f'\left( x \right)$$\Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right)$ $\Rightarrow f\left( 0 \right) = \sqrt 4  = 2$.

Bước 3:

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = 0$ là $y =  - \dfrac{1}{2}\left( {x - 0} \right) + 2 = \dfrac{{ - 1}}{2}x + 2$.