Cho hàm số \(y = f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\), có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:y = - 3x + 4\).
Bước 1:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Bước 2:
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:y = - 3x + 4\) nên
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\)
Bước 3:
Với \(x = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2.2 - 1}}{{2 + 1}} = 1\)
Tiếp tuyến tại điểm (2;1) là \(y = \dfrac{1}{3}.\left( {x - 2} \right) + 1 = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}\)
Với \(x = - 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2.\left( { - 4} \right) - 1}}{{ - 4 + 1}} = 3\)
Tiếp tuyến tại điểm (-4;3) là \(y = \dfrac{1}{3}.\left( {x + 4} \right) + 3 = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{{13}}{3}\)
Vậy tiếp tuyến là \(y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}\) hoặc \(y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{{13}}{3}\).
Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( \Delta \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 3x\), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (D) có phương trình \(y = 6x + 5\).
Bước 1:
Gọi \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
Ta có
\(\left( \Delta \right)//\left( d \right) \Rightarrow \)\(f'\left( {{x_0}} \right)\)
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0} - 3\)
Bước 2:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng (D)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x_0}^2 - 6{x_0} - 3 = 6\\ \Leftrightarrow x_0^2 - 2{x_0} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 3:
Với \({x_0} = - 1\)
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = - 1\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y = 6\left( {x + 1} \right) - 1 = 6x + 5\left( L \right)\)
Với \({x_0} = 3\)
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = - 9\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y = 6\left( {x - 3} \right) - 9 = 6x - 27\)
Vậy tiếp tuyến cần tìm là \(y = 6x - 27\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\cos ^2}x - m\sin x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị của m để tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = \pi \) vuông góc với đường thẳng \(y = - x\) là
Bước 1:
\(\begin{array}{l}y' = \left( {{{\cos }^2}x - m\sin x} \right)'\\ = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right) - m.\cos x\\ = - \sin 2x - m\cos x\end{array}\)
Bước 2:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = \pi \) là
\(\begin{array}{l}f'\left( \pi \right) = - \sin 2\pi - m.\cos \pi \\ = - m\left( { - 1} \right) = m\end{array}\)
Bước 3:
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - x\) nên ta có:
\(f'\left( \pi \right) = 1 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy \(m = 1\).
Cho đường cong $\left( C \right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {-1;1} \right)$ là
\(y = {x^2} \Rightarrow y' = 2x\).
\(y'\left( { - 1} \right) = - 2\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: \(y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y = - 2x - 1\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x-2} \right)$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là
Gọi \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0\).
$y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x-2} \right) = {x^3} - 3x + 2$\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\)\( \Rightarrow y'\left( 2 \right) = 9\).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 9\left( {x - 2} \right) + 0\)\( \Leftrightarrow y = 9x - 18\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số $y = x{\left( {3-x} \right)^2}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là
Gọi \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 2\).
$y = x{\left( {3 - x} \right)^2} = {x^3} - 6{x^2} + 9x$\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 12x + 9\)\( \Rightarrow y'\left( 2 \right) = - 3\).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - 3\left( {x - 2} \right) + 2\)\( \Leftrightarrow y = - 3x + 8\).
Cho hàm số $y = \dfrac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}$. Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {1;-2} \right)$ là
$y = \dfrac{{{x^2} + x}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.
\(y'\left( 1 \right) = - 5\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: \(y = - 5\left( {x - 1} \right) - 2\)\( \Leftrightarrow y = - 5x + 3\).
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = \tan x$ tại điểm có hoành độ $x = \dfrac{\pi }{4}$.
$y = \tan x$\( \Rightarrow y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = \tan x$ tại điểm có hoành độ $x = \dfrac{\pi }{4}$ là \(k = y'\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 2\).
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x + 2$ . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng \(2\) là:
Xét phương trình $\dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x + 2 = 2$ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{x^3}-3{x^2} + 7x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Do đó tiếp điểm \(A\left( {0;2} \right)\).
Ta có : \(y' = {x^2} - 6x + 7\)
Hệ số góc tiếp tuyến \(y'\left( 0 \right) = 7\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( {0;2} \right)\) là : \(y = 7\left( {x - 0} \right) + 2 = 7x + 2\).
Gọi \(\left( P \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2} - x + 3\). Phương trình tiếp tuyến với \(\left( P \right)\) tại điểm mà \(\left( P \right)\) cắt trục tung là:
Ta có : \(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm \(M\left( {0;3} \right)\).
\(y' = 4x - 1\)
Hệ số góc tiếp tuyến : \(y'\left( 0 \right) = - 1\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( P \right)\) tại \(M\left( {0;3} \right)\) là
\(y = - 1\left( {x - 0} \right) + 3 = - x + 3\).
Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm $\left( {-6;5} \right)$ là
$y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}$ tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) với \({x_0} \ne 2\) là:
\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}\).
Vì tiếp tuyến đi qua điểm $\left( {-6;5} \right)$ nên ta có \(5 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( { - 6 - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}\)\( \Leftrightarrow 4x_0^2 - 24{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 6\end{array} \right.\)
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = -x-1$ và $y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{2}$.
Cho hàm số $y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng.$d:3y-x + 6 = 0$ là
Bước 1:
$d:3y-x + 6 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x - 2 \Rightarrow {k_d} = \dfrac{1}{3}$.
Gọi \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm. Ta có \(y' = \dfrac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Bước 2:
Tiếp tuyến vuông góc với $d$\( \Rightarrow {k_{tt}}.{k_d} = - 1\)\( \Leftrightarrow {k_{tt}} = - \dfrac{1}{{{k_d}}} = - 3 \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - 3\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x_0^2 + 4{x_0} + 3}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = - 3\)\( \Leftrightarrow 4x_0^2 + 16{x_0} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - \dfrac{3}{2}\\{x_0} = - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\).
Với \({x_0} = - \dfrac{3}{2} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{3}{2}\)\( \Rightarrow \) pttt: \(y = - 3\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right) + \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 3\).
Với \({x_0} = - \dfrac{5}{2} \Rightarrow {y_0} = - \dfrac{7}{2}\)\( \Rightarrow \) pttt: \(y = - 3\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right) - \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 11\).
Tiếp tuyến kẻ từ điểm $\left( {2;3} \right)$ tới đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x + 4}}{{x - 1}}$ là
$y = \dfrac{{3x + 4}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \dfrac{{3x + 4}}{{x - 1}}$ tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) với \({x_0} \ne 2\) là:
\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} - 1}}\).
Vì tiếp tuyến đi qua điểm $\left( {2;\,3} \right)$ nên ta có \(3 = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {2 - {x_0}} \right) + \dfrac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} - 1}}\)\( \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{3}{2}\).
Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = -28x + 59$.
Điểm \(M\) trên đồ thị hàm số $y = {x^3}-3{x^2}-1$ mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc \(k\) bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì $M$, $k$ là
Gọi \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0} = 3{\left( {{x_0} - 1} \right)^2} - 3 \ge - 3\)
Vậy \(k\) bé nhất bằng \( - 3\) khi \({x_0} = 1\), \({y_0} = - 3\).
Cho hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{x - 1}}$ có đồ thị cắt trục tung tại $A\left( {0;-1} \right)$, tiếp tuyến tại \(A\) có hệ số góc \(k = - 3\). Các giá trị của \(a\), \(\,b\) là
$A\left( {0;-1} \right)$$ \in \left( C \right):y = \dfrac{{ax + b}}{{x - 1}}$\( \Rightarrow \dfrac{b}{{ - 1}} = - 1 \Leftrightarrow b = 1\).
Ta có \(y' = \dfrac{{ - a - b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(A\) là \(k = y'\left( 0 \right) = - a - b = - 3\)\( \Leftrightarrow a = 3 - b = 2\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) tại điểm \(M( - 1; - 4)\) có hệ số góc bằng
Bước 1:
\(y' = 6{x^2} - 6x\)
Bước 2:
\(y'\left( { - 1} \right) = 12\)
Tiếp tuyến với đồ thị \(y = {x^3} - {x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 2\) có phương trình là
Bước 1:
\(\begin{array}{l}{x_0} = - 2\\y' = 3{x^2} - 2x\\y'\left( { - 2} \right) = 16\\y\left( { - 2} \right) = - 12\end{array}\)
Bước 2:
Tiếp tuyến tại \({x_0} = - 2\) là:
\(y = 16\left( {x + 2} \right) - 12 = 16x + 20\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + \dfrac{1}{3}\). Tìm điểm \(M\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) có hệ số góc nhỏ nhất.
Bước 1:
Ta có: \(y' = {x^2} - 4x + 2\).
Bước 2:
Gọi hoành độ của điểm \(M\) là \({x_0} \Rightarrow \) Hệ số góc của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^2 - 4{x_0} + 2\).
Bước 3:
\( \Rightarrow k = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 2 \ge - 2\).
Bước 4:
Do đó \({k_{\min }} = - 2 \Leftrightarrow {x_0} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\).
Ta có \(f\left( 2 \right) = - 1 \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số\(y = {x^3} - 4{x^2} + 1\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng
Bước 1:
\({y^\prime } = \left( {{x^3} - 4{x^2} + 1} \right)' = 3{x^2} - 8x\)
Bước 2:
Thay x=1 vào đạo hàm ta được:
\(y'(1) = 3 - 8 = - 5\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là:
Bước 1:
Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\)
Bước 2:
Thay \(x = 0\) vào \(f'\left( x \right)\)\( \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}\)
Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right)\) \( \Rightarrow f\left( 0 \right) = \sqrt 4 = 2\).
Bước 3:
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là \(y = - \dfrac{1}{2}\left( {x - 0} \right) + 2 = \dfrac{{ - 1}}{2}x + 2\).
