Tổng hợp câu hay và khó chương 6

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {6;4} \right)$ và bán kính $R = 2\sqrt 3$.

Qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\dfrac{1}{2}$ điểm $I\left( {6;4} \right)$ biến thành điểm ${I_1}\left( {3;2} \right)$; qua phép quay tâm $O$ góc $90^\circ$ điểm ${I_1}\left( {3;2} \right)$ biến thành điểm $I'\left( { - 2;3} \right)$.

Vậy ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đồng dạng trên là đường tròn có tâm $I'\left( { - 2;3} \right)$ và bán kính $R' = \dfrac{1}{2}R = \sqrt 3$ có phương trình: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 3$.

Gọi $M = d \cap \Delta$$\Rightarrow M\left( { - 1;\;3} \right)$.

Lấy $N\left( {2; - 1} \right) \in d$.

Gọi ${d_1}$ là đường thẳng qua $N$ và vuông góc với $\Delta$, ta có ${d_1}:2x - y - 5 = 0$

Gọi $I = {d_1} \cap \Delta$$\Rightarrow I\left( {3;\;1} \right)$.

Gọi $N'$ là ảnh của $N$ qua phép đối xứng trục $\Delta$$\Rightarrow$ $I$ là trung điểm của $NN'$ nên $N'\left( {4;\;3} \right)$.

$d'$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng trục $\Delta$

$\Rightarrow$$d'$ là đường thẳng qua $M\left( { - 1;\;3} \right)$ và $N'\left( {4;\;3} \right)$.

Vậy $d':y - 3 = 0$.

Gọi $A'$ đối xứng với$A$ qua $MN$, $D$ là trung điểm của $NB$.

Do $A$ cố định nên $A'$ cũng cố định.

Ta có: $T = CA + CB = CA' + CB \ge A'B$ (không đổi).

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ C \right\} = MN \cap A'B$.

Khi đó: $\dfrac{{MC}}{{NC}} = \dfrac{{MA'}}{{NB}} = \dfrac{{MA}}{{NB}} = \dfrac{1}{2}$          (1)

Mặt khác, $MN = AD = \sqrt {A{B^2} - D{B^2}}$ $= \sqrt {153 - 9}  = 12 \,{\rm{km}}$        (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MC = 4\,km$, $NC = 8 \,{\rm{km}}$.

Vậy $T = CA + CB = \sqrt {A{M^2} + M{C^2}}  + \sqrt {B{N^2} + N{C^2}}$ $= \sqrt {9 + 16}  + \sqrt {36 + 64}  = 15\,{\rm{km}}$.

Qua phép quay tâm $O$ góc quay $- {90^{\rm{o}}}$ đường thẳng $d$ biến thành đường thẳng $d'$ vuông góc với $d$.

Phương trình đường thẳng $d'$ có dạng: $x + 3y + m = 0$.

Lấy $A\left( {0;2} \right) \in d$. Qua phép quay tâm $O$ góc quay $- {90^{\rm{o}}}$, điểm $A\left( {0;2} \right)$ biến thành điểm $B\left( {2;0} \right) \in d'$. Khi đó $m =  - 2$.

Vậy phương trình đường $d'$ là $x + 3y - 2 = 0$.

Điều kiện để $\left( {C'} \right)$ là đường tròn ${\left( {m - 2} \right)^2} + 9 - 12 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 4m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}$.

Khi đó:

Đường tròn $\left( {C'} \right)$ có tâm là $I'\left( {\,2 - m;\,\,3} \right)$, bán kính $R' = \sqrt { - 4m + 1}$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm là $I\left( { - m;\,2} \right)$, bán kính $R = \sqrt 5$.

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v$ biến $\left( C \right)$ thành $\left( {C'} \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}R' = R\\\overrightarrow {II'}  = \overrightarrow v \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt { - 4m + 1}  = \sqrt 5 \\\overrightarrow v  = \overrightarrow {II'}  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\\overrightarrow v  = \left( {2;\,1} \right)\end{array} \right.$.

Vậy chọn A

Gọi $\left( {C'} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k =  - 2$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;2} \right)$ và bán kính $R = 2$.

Gọi $I'$ và $R'$ tâm và bán kính của đường tròn $\left( {C'} \right)$.

Ta có: $R' = \left| k \right|R = \left| { - 2} \right|.2 = 4$.

Mặt khác: $\overrightarrow {OI'}  =  - 2\overrightarrow {OI}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} =  - 2{x_I} =  - 2.1 =  - 2\\{y_{I'}} =  - 2{y_I} =  - 2.2 =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( { - 2; - 4} \right)$

Vậy, phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16.$

Do $Q\left( {B; - 90^\circ } \right):I \to J$ nên $\Delta BIJ$ vuông cân tại $B$ $\Rightarrow IJ = BI\sqrt 2$.

Mà $AC = 3$ $\Rightarrow BC = 1$. Vì $AB = 2BC$ $\Rightarrow BE = 2BH$ $\Rightarrow$ $HI$ là đường trung bình $\Delta EBC$

$\Rightarrow HI = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}$. Ta có $BI = \sqrt {B{H^2} + I{H^2}}  = \sqrt {1 + \dfrac{1}{4}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$

Vậy $IJ = BH\sqrt 2  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {0;\;0} \right)$, bán kính $R = 1$.

Gọi $O'$ là ảnh của $O$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x_O} + {x_{O'}}}}{2} = {x_I}}\\{\dfrac{{{y_O} + {y_{O'}}}}{2} = {y_I}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2{x_I} - {x_O}}\\{{y_{O'}} = 2{y_I} - {y_O}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2.1 - 0}\\{{y_{O'}} = 2.0 - 0}\end{array}} \right.$$\Rightarrow O'\left( {2;\;0} \right)$.

Đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

$\left( {C'} \right)$ có tâm $O'\left( {2;\;0} \right)$, bán kính $R' = R = 1$.

Phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.

Có $M' = {Q_{\left( {O;90^\circ } \right)}}\left( M \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {OM;\;OM'} \right) = 90^\circ \\OM' = OM\end{array} \right.$.

Phương trình đường thẳng $OM'$ qua $O$, vuông góc với $OM$ nên $OM'$ có dạng $x - 2y = 0$.

Gọi $M'\left( {2a;\;a} \right)$. Do $OM' = OM$$\Rightarrow 4{a^2} + {a^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {2^2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M'\left( {2;\;1} \right)\\M'\left( { - 2;\; - 1} \right)\end{array} \right.$.

Có $M'\left( {2;\;1} \right)$ là ảnh của $M$ qua phép quay góc $- 90^\circ$, $M'\left( { - 2;\; - 1} \right)$ là ảnh của $M$ qua phép quay góc $90^\circ$. Vậy chọn $M'\left( { - 2;\; - 1} \right)$.

Gọi $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của $M\left( {2; - 3} \right)$ qua phép quay tâm $I\left( { - 1;2} \right)$ góc quay $120^\circ$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \left( {x - a} \right)\cos \varphi  - \left( {y - b} \right)\sin \varphi  + a}\\{x' = \left( {x - a} \right)\sin \varphi  + \left( {y - b} \right)\cos \varphi  + b}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \left( {2 + 1} \right)\cos 120^\circ  - \left( { - 3 - 2} \right)\sin 120^\circ  - 1}\\{x' = \left( {2 + 1} \right)\sin 120^\circ  + \left( { - 3 - 2} \right)\cos 120^\circ  + 2}\end{array}} \right.$.

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' =  - \dfrac{3}{2} + 5\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - 1}\\{y' = 3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{5}{2} + 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \dfrac{{5\sqrt 3  - 5}}{2}}\\{y' = \dfrac{{3\sqrt 3  + 9}}{2}}\end{array}} \right.$. Vậy $M'\left( {\dfrac{{5\sqrt 3  - 5}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3  + 9}}{2}} \right)$.

Gọi $I$ và $I'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ và tam giác $ABC$.

Gọi $R$ và $R'$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ và tam giác $ABC$.

Ta có $I\left( {1; - \dfrac{1}{2}} \right)$ và do đó $\overrightarrow {OI'}  = 2\overrightarrow {OI}  \Rightarrow I'\left( {2;\; - 1} \right)$.

Mặt khác $R = \dfrac{5}{2} \Rightarrow R' = 5$.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25$.