Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.
B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Cho tứ giác \(ABCD\). Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).
4 điểm \(A,\;B,\;C,\;D\) tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm \(A,\;B,\;C,\;D\) đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
A sai. Nếu \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung.
Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng$.$
B sai. Có vô số đường thẳng đi qua \(A\), khi đó \(B,\;C\) chưa chắc đã thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
C sai. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì \(A,\;B,\;C\) cùng thuộc giao tuyến.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right).\) Khẳng định nào sau đây đúng?
+) \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) nên A sai.
+) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\) nên B sai.
+) \(S\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\I \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI.\) Do đó C đúng.
+) \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\) nên D sai.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trực tâm của tam giác \(BCD.\) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\)là:
\( \bullet \) \(A\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right).\)
\( \bullet \) Ta có \(BG \cap CD = N\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow N \in \left( {ABG} \right)\\N \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow N\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right).\)
Vậy \(\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AN.\)
Mà \(G\) là trực tâm của tam giác \(\Delta BCD\) nên \(BG \bot CD\) tại \(N\) hay \(N\) là hình chiếu của \(B\) lên \(CD\).
Cho điểm $A$ không nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa tam giác $BCD.$ Lấy $E,\,\,F$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh $AB,\,\,AC.$ Khi $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $I,$ chọn kết luận không đúng:
+) Ta có: \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BC\), mà \(I \in BC\) nên \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BI\) hay A đúng.
+) \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF\) nên B đúng.
+) \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF\), mà \(I \in EF\) nên \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EI\) nên C đúng.
+) Dễ thấy \(D\) là điểm chung của \(\left( {DBC} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\), ngoài ra \(I = BC \cap EF\) nên \(\left( {DBC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = DI\) nên D sai.
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thuộc các đoạn thẳng \(AB,AC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {DBN} \right)\) và \(\left( {DCM} \right)\) là
Dễ thấy \(D\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
Trong mp\(\left( {ABC} \right)\) gọi \(G = BN \cap CM\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in BN \subset \left( {BDN} \right)\\G \in CM \subset \left( {DCM} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G \in \left( {DBN} \right) \cap \left( {DCM} \right)\)
\( \Rightarrow DG = \left( {DBN} \right) \cap \left( {DCM} \right)\).
Do \(M,N\) là các điểm bát kì thuộc hai đoạn thẳng \(AB,AC\) nên ta chưa thể kết luận được vị trí của \(G\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(AD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
\( \bullet \) \(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
\( \bullet \) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(P = MN \cap AC\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow P \in \left( {SAC} \right)\\P \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow P \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow P\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
Vậy \(\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SP\).
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành ta có: \(\dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AP}}{{AO}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow AP = \dfrac{1}{4}AC \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,{\rm{ }}J\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB\), gọi \(M = IC \cap JD\). Khẳng định nào sau đây sai?
Xét đáp án A: Do \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\) và \(S \notin IJ\) nên \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) \ne IJ\) nên A sai.
Xét đáp án B: \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {IJCD} \right) = IJ\) vì \(IJ \subset \left( {SAB} \right)\) và \(IJ \subset \left( {IJCD} \right)\) nên B đúng.
Xét đáp án C: \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ICD} \right) = CJ\) vì \(CJ \subset \left( {SBC} \right)\) và \(CJ \subset \left( {ICD} \right)\) nên C đúng.
Xét đáp án D: \(\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = MO\) vì \(MO \subset \left( {IAC} \right),MO \subset \left( {JBD} \right)\) nên D đúng.
Chọn khẳng định SAI.
Khẳng định sai là đáp án A: Qua ba điểm phân biệt xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Khẳng định đúng phải là: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Cho $2$ đường thẳng \(a,b\) cắt nhau và không đi qua điểm \(A\). Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi $a,b$ và $A$?
Có $3$ mặt phẳng gồm \(\left( {a,b} \right),\left( {A,a} \right),\left( {A,b} \right)\).
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Hình biểu diễn của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau, không thể là hai đường thẳng song song.
Hình nào sau đây vẽ đúng quy tắc?
Quy tắc: phần nhìn thấy vẽ nét liền, phần không nhìn thấy vẽ nét đứt
Một hình không gian có hình chiếu đứng (nhìn từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển sang hình 2D) hình chiếu bằng (nhìn từ trên xuống) có thể nhìn từ dưới lên)), hình chiếu cạnh (từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) lần lượt được thể hiện như sau:
Hãy vẽ hình biểu diễn của hình đó?
Đáp án A, B, D: Sai vì đoạn thẳng trong hình phải vẽ nét đứt vì không nhìn thấy.
Cho tứ giác lồi \(ABCD\) và điểm $S$ không thuộc $mp\left( {ABCD} \right)$. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt xác định bởi $3$ trong số các điểm $A,B,C,D,S$?
Từ hình vẽ ta thấy có \(7\) mặt phẳng được xác định bởi các điểm $A,B,C,D,S$.
Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ?
Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm đã cho là \(C_4^3 = 4.\)
Trong mp\(\left( \alpha \right)\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm \(S \notin mp\left( \alpha \right)\). Có mấy mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong số bốn điểm nói trên?
Điểm \(S\) cùng với hai trong số bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có $6$ cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả $6$ mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong số bốn điểm nói trên.
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho tứ giác \(ABCD\), điểm \(E \notin \left( \alpha \right)\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt tạo bởi ba trong năm điểm \(A,B,C,D,E\)?
Điểm \(E\) và $2$ điểm bất kì trong $4$ điểm \(A,B,C,D\) tạo thành $6$ mặt phẳng, bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành 1 mặt phẳng.
Vậy có tất cả $7$ mặt phẳng.
Cho năm điểm \(A,B,C,D,E\) trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho?
Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm \(A,B,C,D,E\) ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có $C_5^3 = 10$ cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có $10$ mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho.
