Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

 A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

 B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

 D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

4 điểm $A,\;B,\;C,\;D$ tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm $A,\;B,\;C,\;D$ đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.

A sai. Nếu $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung.

Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận $A,\;B,\;C$ thẳng hàng$.$

B sai. Có vô số đường thẳng đi qua $A$, khi đó $B,\;C$ chưa chắc đã thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

C sai. Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm $A,\;B,\;C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì $A,\;B,\;C$ cùng thuộc giao tuyến.

+) $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left( {SDC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ nên A sai.

+) Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là $AC$ nên B sai.

+) $S$ là điểm chung thứ nhất của $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ thì $\left\{ \begin{array}{l}I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\I \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Do đó $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI.$ Do đó C đúng.

+) $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA$ nên D sai.

$\bullet$ $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

$\bullet$ Ta có $BG \cap CD = N$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow N \in \left( {ABG} \right)\\N \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow N$  là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

Vậy $\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AN.$

Mà $G$ là trực tâm của tam giác $\Delta BCD$ nên $BG \bot CD$ tại $N$ hay $N$ là hình chiếu của $B$ lên $CD$.

+) Ta có: $\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BC$, mà $I \in BC$ nên $\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BI$ hay A đúng.

+) $\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF$ nên B đúng.

+) $\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF$, mà $I \in EF$ nên $\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EI$ nên C đúng.

+) Dễ thấy $D$ là điểm chung của $\left( {DBC} \right)$ và $\left( {DEF} \right)$, ngoài ra $I = BC \cap EF$ nên $\left( {DBC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = DI$ nên D sai.

Dễ thấy $D$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.

Trong mp$\left( {ABC} \right)$ gọi $G = BN \cap CM$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in BN \subset \left( {BDN} \right)\\G \in CM \subset \left( {DCM} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow G \in \left( {DBN} \right) \cap \left( {DCM} \right)$

$\Rightarrow DG = \left( {DBN} \right) \cap \left( {DCM} \right)$.

Do $M,N$ là các điểm bát kì thuộc hai đoạn thẳng $AB,AC$ nên ta chưa thể kết luận được vị trí của $G$.

$\bullet$ $S$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

$\bullet$  Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $P = MN \cap AC$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow P \in \left( {SAC} \right)\\P \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow P \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow P$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

Vậy $\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SP$.

Gọi $O$ là tâm hình bình hành ta có: $\dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AP}}{{AO}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow AP = \dfrac{1}{4}AC \Rightarrow \overrightarrow {AP}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}$.

Xét đáp án A: Do $S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ và $S \notin IJ$ nên $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) \ne IJ$ nên A sai.

Xét đáp án B: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IJCD} \right) = IJ$ vì $IJ \subset \left( {SAB} \right)$ và $IJ \subset \left( {IJCD} \right)$ nên B đúng.

Xét đáp án C: $\left( {SBC} \right) \cap \left( {ICD} \right) = CJ$ vì $CJ \subset \left( {SBC} \right)$ và $CJ \subset \left( {ICD} \right)$ nên C đúng.

Xét đáp án D: $\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = MO$ vì $MO \subset \left( {IAC} \right),MO \subset \left( {JBD} \right)$ nên D đúng.

Khẳng định sai là đáp án A: Qua ba điểm phân biệt xác định được một và chỉ một mặt phẳng.

Khẳng định đúng phải là: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định được một và chỉ một mặt phẳng.

Có $3$ mặt phẳng gồm $\left( {a,b} \right),\left( {A,a} \right),\left( {A,b} \right)$.

Hình biểu diễn của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau, không thể là hai đường thẳng song song.

Quy tắc: phần nhìn thấy vẽ nét liền, phần không nhìn thấy vẽ nét đứt

Đáp án A, B, D: Sai vì đoạn thẳng trong hình phải vẽ nét đứt vì không nhìn thấy.

Từ hình vẽ ta thấy có $7$ mặt phẳng được xác định bởi các điểm $A,B,C,D,S$.

Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm đã cho là $C_4^3 = 4.$

Điểm $S$ cùng với hai trong số bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có $6$ cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả $6$ mặt phẳng tạo bởi $S$ và hai trong số bốn điểm nói trên.

Điểm $E$ và $2$ điểm bất kì trong $4$  điểm $A,B,C,D$ tạo thành $6$ mặt phẳng, bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành 1 mặt phẳng.

Vậy có tất cả $7$ mặt phẳng.

Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm $A,B,C,D,E$ ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có $C_5^3 = 10$ cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có $10$ mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho.