Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu \(b//(\alpha )\) và \(a \bot (\alpha )\) thì \(a \bot b\).

ABCD là hình thoi nên \(BD \bot AC\).

Mà \(BD \bot SA\) và AC và SA cắt nhau tại A nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

\(\Delta ABC\) cân tại A

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot AM\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)

Ta có :

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\)\( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(A\).

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD\)\( \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại \(A\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)

\( \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\)\( \Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại \(D\).

Vậy cả bốn mặt của hình chóp đều là tam giác vuông.

Đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha  \right)\) chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.

Câu A sai vì \(b\)  có thể nằm trong \(\left( P \right)\) .

Câu B đúng bởi \(a//\left( P \right) \Rightarrow \exists a' \subset \left( P \right)\) sao cho \(a//a',b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a'\). Khi đó \(a \bot b\).

Câu C sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).

Câu D sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).

Theo tiên đề qua điểm $O$ cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta $

Theo bài ra, ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ mà $BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC.$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ có $AB \bot BC$$ \Rightarrow $$BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC.$

Nếu $AH \bot AC$ mà $SA \bot AC$ suy ra $AC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow AC \bot AB$ (vô lý).

Đáp án A: Có vô số đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên A sai.

Đáp án B: Nếu đường thẳng đã cho vuông góc với mặt phẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia nên B sai.

Đáp án C: đúng.

Đáp án D: Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước nên D sai.

+) \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC.\) Do đó A đúng.

+) Do \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(OH \bot AB\) nên B đúng.

Gọi \(I = AH \cap BC.\)

Theo giả thiết ta có $OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC.$ Suy ra \(BC \bot \left( {AOI} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot OI,BC \bot AI\)

Gọi \(J = BH \cap AC.\) Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot BJ\).

Suy ra $H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\) Do đó C đúng.

Vậy D là đáp án sai vì \(AO \bot \left( {OBC} \right)\) và \(AO \ne AH\).

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b \bot c\end{array} \right.\) thì \(a,c\) có thể cắt nhau, trùng nhau, song song nên đáp án A sai.

Ví dụ:

Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có AD vuông góc với AA' và AA' vuông góc với A'B' nhưng AD và A'B' không song song với nhau mà là vuông góc với nhau.

Vì $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right)\,\,\, \Rightarrow \,\,SA \bot BD.$

Mà $ABCD$ là hình thoi tâm $O$$ \Rightarrow $$AC \bot BD$ nên suy ra $BD \bot \left( {SAC} \right).$

Mặt khác $SO \subset \left( {SAC} \right)$ và $SC \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot SC\end{array} \right.$.

Và $AD,\,\,\,SC$ là hai đường thẳng chéo nhau.

Ta có $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $AB \bot BC$ suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$

$ \Rightarrow \,\,\,BC \bot SB\,\,\, \Rightarrow $ tam giác $SBC$ vuông tại $B\,\, \Rightarrow $$O$là trung điểm của $SC.$

Theo bài ra, ta có $OH \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,OH$//$SA \Rightarrow \,\,H$ là trung điểm của $AC.$

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Vì $O,\,\,I$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,SC$ suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$$ \Rightarrow $$OI$//$SA$ mà $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right).$

Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật $ \Rightarrow \,\,\,BC \bot AB$ mà $SA \bot BC$ suy ra $BC \bot SB.$

Tương tự, ta có được $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\,\,\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD.$

Nếu $\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của $BD\,\, \Rightarrow \,BD \bot AC$: điều này không thể xảy ra vì $ABCD$ là hình chữ nhật.

Vì $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$$ \Rightarrow $$SA \bot BC.$

Mà $AB \bot BC$ nên suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE \subset \left( {SAB} \right).$

Tam giác $SAB$ có đường cao $AE$$ \Rightarrow \,\,AE \bot SB$ mà $AE \bot BC \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC.$

Tương tự, ta chứng minh được $AF \bot SC$. Do đó $SC \bot \left( {AEF} \right).$

Từ giả thết suy ra \(ADCE\) là hình vuông \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\CE = AD = a\end{array} \right..\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\CE \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right).\) Do đó A đúng.

Vì \(CE = AD = a \Rightarrow CE = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow CB \bot AB\). Kết hợp với \(CB \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) nên suy ra \(CB \bot \left( {SAC} \right).\) Do đó B đúng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD.\) Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D là đáp án sai.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

Các đáp án A, B, C đúng.

Đáp án D sai vì có thể xảy ra trường hợp \(b\) nằm trong \(\left( P \right)\).

Qua điểm \(O\) có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với \(\Delta \), các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với \(\Delta \).

Vì \(H\) là trung điểm của \(AB\), tam giác \(ABC\) cân suy ra \(CH \bot AB.\)

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\) mà \(CH \bot AB\) suy ra \(CH \bot \left( {SAB} \right).\)

Mặt khác \(AK \subset \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \,\,CH\) vuông góc với các đường thẳng \(SA,\,\,SB,\,\,AK.\)

Và \(AK \bot SB\) chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác \(SAB\) cân tại \(S.\)