Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng α. Phát hiểu nào sau đây đúng?
Nếu b//(α) và a⊥(α) thì a⊥b.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (như hình vẽ minh họa)
Hãy chọn khẳng định đúng?
ABCD là hình thoi nên BD⊥AC.
Mà BD⊥SA và AC và SA cắt nhau tại A nên BD⊥(SAC).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm của BC, J là trung điểm của BM. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
ΔABC cân tại A
⇒BC⊥AMBC⊥SA(SA⊥(ABCD))}⇒BC⊥(SAM)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA vuông góc với đáy. Khi đó số mặt bên của hình chóp là tam giác vuông bằng :
Ta có :
SA⊥(ABCD)⇒SA⊥AB⇒ΔSAB vuông tại A.
SA⊥(ABCD)⇒SA⊥AD⇒ΔSAD vuông tại A.
Ta có {BC⊥ABBC⊥SA(SA⊥(ABCD))
⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB
⇒ΔSBC vuông tại B.
{CD⊥ADCD⊥SA(SA⊥(ABCD))⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥SD⇒ΔSCD vuông tại D.
Vậy cả bốn mặt của hình chóp đều là tam giác vuông.
Khẳng định nào sau đây sai?
Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d⊥(α) chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Cho hai đường thẳng a,b và mp(P). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Câu A sai vì b có thể nằm trong (P) .
Câu B đúng bởi a//(P)⇒∃a′⊂(P) sao cho a//a′,b⊥(P)⇒b⊥a′. Khi đó a⊥b.
Câu C sai vì b có thể nằm trong (P).
Câu D sai vì b có thể nằm trong (P).
Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Δ cho trước?
Theo tiên đề qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Δ
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Theo bài ra, ta có SA⊥(ABC) mà BC⊂(ABC)⇒SA⊥BC.
Tam giác ABC vuông tại B, có AB⊥BC⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥AH.
Khi đó {AH⊥SBAH⊥BC⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC.
Nếu AH⊥AC mà SA⊥AC suy ra AC⊥(SAH)⇒AC⊥AB (vô lý).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Đáp án A: Có vô số đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên A sai.
Đáp án B: Nếu đường thẳng đã cho vuông góc với mặt phẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia nên B sai.
Đáp án C: đúng.
Đáp án D: Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước nên D sai.
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây là sai?
+) {OA⊥OBOA⊥OC⇒OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC. Do đó A đúng.
+) Do OH⊥(ABC) nên OH⊥AB nên B đúng.
Gọi I=AH∩BC.
Theo giả thiết ta có OH⊥(ABC)⇒OH⊥BC. Suy ra BC⊥(AOI) ⇒BC⊥OI,BC⊥AI
Gọi J=BH∩AC. Chứng minh tương tự ta có AC⊥BJ.
Suy ra H là trực tâm ΔABC. Do đó C đúng.
Vậy D là đáp án sai vì AO⊥(OBC) và AO≠AH.
Cho a,b,c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
Nếu {a⊥bb⊥c thì a,c có thể cắt nhau, trùng nhau, song song nên đáp án A sai.
Ví dụ:
Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AD vuông góc với AA' và AA' vuông góc với A'B' nhưng AD và A'B' không song song với nhau mà là vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây là sai ?
Vì SA vuông góc với mp(ABCD)⇒SA⊥BD.
Mà ABCD là hình thoi tâm O⇒AC⊥BD nên suy ra BD⊥(SAC).
Mặt khác SO⊂(SAC) và SC⊂(SAC) suy ra {BD⊥SOBD⊥SC.
Và AD,SC là hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. H là hình chiếu của O trên (ABC). Khẳng định nào dưới đây đúng ?
Ta có SA vuông góc với mp(ABC)⇒SA⊥BC mà AB⊥BC suy ra BC⊥(SAB)
⇒BC⊥SB⇒ tam giác SBC vuông tại B⇒Olà trung điểm của SC.
Theo bài ra, ta có OH⊥(ABC)⇒OH//SA⇒H là trung điểm của AC.
Mà tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Đường thẳng SA cuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Vì O,I lần lượt là trung điểm của AC,SC suy ra OI là đường trung bình của tam giác SAC⇒OI//SA mà SA⊥(ABCD)⇒OI⊥(ABCD).
Ta có ABCD là hình chữ nhật ⇒BC⊥AB mà SA⊥BC suy ra BC⊥SB.
Tương tự, ta có được {CD⊥ADCD⊥SA(SA⊥(ABCD))⇒CD⊥SD.
Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD⇒BD⊥AC: điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi AE,AF lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)⇒SA⊥BC.
Mà AB⊥BC nên suy ra BC⊥(SAB)⇒BC⊥AE⊂(SAB).
Tam giác SAB có đường cao AE⇒AE⊥SB mà AE⊥BC⇒AE⊥(SBC)⇒AE⊥SC.
Tương tự, ta chứng minh được AF⊥SC. Do đó SC⊥(AEF).
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AD=CD=a, AB=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD), E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Từ giả thết suy ra ADCE là hình vuông ⇒{CE⊥ABCE=AD=a.
Ta có {CE⊥ABCE⊥SA(doSA⊥ABCD)⇒CE⊥(SAB). Do đó A đúng.
Vì CE=AD=a⇒CE=12AB⇒ΔABC vuông tại C⇒CB⊥AB. Kết hợp với CB⊥SA (do SA⊥(ABCD)) nên suy ra CB⊥(SAC). Do đó B đúng.
Ta có {CD⊥ADCD⊥SA(doSA⊥ABCD)⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥SD. Do đó C đúng.
Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D là đáp án sai.
Trong không gian, cho đoạn thẳng AB có trung điểm là I, (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Phát biểu nào sau đây đúng?
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng(P), trong đó a⊥(P). Mệnh đề nào sau đây là sai?
Các đáp án A, B, C đúng.
Đáp án D sai vì có thể xảy ra trường hợp b nằm trong (P).
Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?
Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với Δ, các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với Δ.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây sai ?
Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân suy ra CH⊥AB.
Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥CH mà CH⊥AB suy ra CH⊥(SAB).
Mặt khác AK⊂(SAB)⇒CH vuông góc với các đường thẳng SA,SB,AK.
Và AK⊥SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.