Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Vì $AH$ vuông góc với $mp\,\,\left( {BCD} \right)$ suy ra $AH \bot CD.$   $\left( 1 \right)$

Mà $H$ là trực tâm của tam giác $BCD$$\Rightarrow \,\,BH \bot CD.$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow CD \bot AB.$

Đường thẳng $\Delta$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng $\left( P \right)$.(ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).

Vì $SA = SC\,\,\, \Rightarrow$$\Delta SAC$ cân tại $S$ mà $O$ là trung điểm $AC\,\, \Rightarrow \,\,SO \bot AC.$

Tương tự, ta cũng có $SO \bot BD$ mà $AC \cap BD = O \subset \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,AB \bot \left( {BCD} \right)\,\, \Rightarrow$ tam giác $ABD$ vuông tại $B.$

Lại có $BC \bot CD$ nên tam giác $BCD$ vuông tại $C.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}\\B{D^2} = B{C^2} + C{D^2}\end{array} \right. \Rightarrow A{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \Rightarrow AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,AB \bot \left( {BCD} \right)\,\, \Rightarrow$ tam giác $ABD$ vuông tại $B.$

Suy ra $IA = IB = ID = \dfrac{{AD}}{2},$ với $I$ là trung điểm của $AD.$   $\left( 1 \right)$

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CD\\BC \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,CD \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,$tam giác $ACD$ vuông tại $C.$

Suy ra $EA = EC = ED = \dfrac{{AD}}{2},$ với $E$ là trung điểm của $AD.$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $I \equiv E \equiv O$ nên trung điểm của cạnh $AD$ cách đều $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D.$

Do $SA = SB = SC$ nên $HA = HB = HC$. Suy ra $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Mà $\Delta ABC$ vuông tại $B$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Do SH$\bot$ (ABC) nên $SH\bot HA, SH\bot HB, SH\bot HC$.

Xét các tam giác vuông SHA, SHB, SHC có:

SA=SB=SC

SH chung

Do đó $\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH$

Suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm BC hay H là trung điểm của BC.

Do đó $\left( SBH \right) \equiv \left( SCH \right)$ nên A sai.

Lại có $\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$ và $\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$ nên B và D đều đúng.

Vì $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB$ nên C đúng.

Vì hình chóp$S.ABCD$ có $SA = SB = SC = SD$ và $H$ là hình chiếu của ${\rm{S}}$ lên mặt đáy $ABCD$ nên $H$ tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác$ABCD$

Suy ra $HA = HB = HC = HD$.

Nên đáp án B sai vì hình bình hành không nội tiếp được đường tròn.

Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $ABC$ $\Rightarrow AA' \bot BC$ mà

$BC \bot SA$ nên $BC \bot SA' \Rightarrow A' \in SK$ (vì $K$ là trực tâm của tam giác)

Gọi $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu của $S$ lên các cạnh $AB,BC,AC$

$\Rightarrow \widehat {SMH} = \widehat {SNH} = \widehat {SPH} \Rightarrow \Delta SMH = \Delta SNH = \Delta SPH.$

$\Rightarrow HM = HN = HP \Rightarrow$ $H$ là tâm dường tròn nội tiếp của $\Delta ABC.$

Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'D \bot AD'{\rm{                  }}\left( \text{t/c hình vuông} \right)}\\{A'D \bot C'D'{\rm{    }}\left( {C'D' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow A'D \bot \left( {AC'D'} \right) \Rightarrow A'D \bot AC'{\rm{   }}\left( 1 \right)$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'B \bot AB'{\rm{                      }}\left( \text{t/c hình vuông} \right)}\\{A'B \bot B'C'{\rm{    }}\left( {B'C' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow A'B \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'B \bot AC'{\rm{   }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AC' \bot \left( {A'BD} \right)$

Ta có: $SA = SC \Rightarrow SAC$ là tam giác cân

Mặt khác: $O$ là trung điểm của $AC$ (tính chất hình thoi)

Khi đó ta có: $AC \bot SO$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD{\rm{     }}\left( \text{tính chất hình thoi} \right)}\\{AC \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC{\rm{     }}\left( {t/c{\rm{ HV}}} \right)}\\{BD \bot SA{\rm{      }}\left( {gt} \right){\rm{         }}}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM$

Gọi $O = AC \cap BD,I = SO \cap HK$

$\left( P \right)$ là mặt phẳng $A$ và vuông góc với $SC$

Qua $I$ kẻ $\Delta \parallel BD \Rightarrow \Delta  \bot AM \Rightarrow \Delta  \subset \left( P \right)$

Khi đó: $K = \Delta  \cap SD,H = \Delta  \cap SB$

Ta có: $AK \bot \left( {SDC} \right)$, mà $HK \cap \left( {SDC} \right) = K \Rightarrow AK$ không vuông góc với $HK$.

Ta có :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot AD}\\{AB \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD$

Giả sử $SB \bot SD \Rightarrow SD \bot \left( {SAB} \right)$ (vô lý)

Rõ ràng $SB$ và $BD$ không vuông góc, $SD,BD$ không vuông góc.

Hay $\Delta SBD$ không thể là tam giác vuông.

Có vô số mặt phẳng qua A và vuông góc với $(P)$.