Phép đối xứng trục

Gọi $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $Ox.$ Vì $B \in Ox$ nên suy ra $BA = BM.$

Gọi $N$ là điểm đối xứng với $A$ qua $Oy$. Vì $C \in Oy$ nên suy ra $CA = CN.$

Chu vi tam giác: ${P_{\Delta ABC}} = AB + BC + CA = BM + BC + CN.$ $\left( * \right)$

Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có

$MB + BC \ge MC$ và $MC + CN \ge MN.$

Kết hợp với $\left(  *  \right)$, suy ra

${P_{\Delta ABC}} = \left( {MB + BC} \right) + CN \ge MC + CN \ge MN.$

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi $B,\,\,C,\,\,M,\,\,N$ thẳng hàng hay $C$ là giao điểm của $BM$ với trục $Oy$.

Ta dễ dàng kiểm tra được $A,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$.

Gọi $A'$  là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ , ta có : $MA = MA'$

$\Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B$

$\Rightarrow MA + MB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M,A',B$ thẳng hàng hay $M = A'B \cap d$.

Đường thẳng $AA'$  đi qua $A$ và vuông góc với $d$ nên có phương trình $x + y - 4 = 0\,\,\left( {d'} \right)$.

Gọi $H = d \cap d' \Rightarrow$ Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\y = \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}} \right)$ là trung điểm của  $AA' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 0\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_H} = 4\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;4} \right)$ 

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $A'B$  là : $\dfrac{{x - 0}}{{7 - 0}} = \dfrac{{y - 4}}{{5 - 4}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{7} = y - 4 \Leftrightarrow x - 7y + 28 = 0$

$\Rightarrow MA + MB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M = A'B \cap d \Rightarrow$ Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x - 7y + 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{2}\\y = \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{7}{2};\dfrac{9}{2}} \right)$ .

Vì $H'$ đối xứng với $H$ qua $BC$ suy ra $\widehat {BHC} = \widehat {BH'C}.$

Mặt khác $\widehat {BHC} = \widehat {B'HC'}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\widehat {BH'C} = \widehat {B'HC'}\,.$                            $\left( 1 \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AC\\CC' \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AC'H} = \widehat {AB'H} = {90^0}$

$\Rightarrow$  tứ giác $AB'HC'$ là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat {B'AC'} + \widehat {B'HC'} = {180^0}.$  $\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $\widehat {BH'C} + \widehat {BAC} = {180^0}.$

Vậy tứ giác $ABH'C$ là tứ giác nội tiếp

Gọi ${D_\Delta }\left( d \right) = d'$.

Nhận xét: $d\parallel d'$, do đó $\Delta$ là đường thẳng song song cách đều $d$ và $d'$.

Vậy $\Delta :\,\,2x - y + 10 = 0$.

Gọi $d' = {D_\Delta }\left( d \right)$.

Gọi $A = d \cap \Delta  \Rightarrow A\left( {1;2} \right)$.

Do $A \in \Delta  \Rightarrow {D_\Delta }\left( A \right) = A$$\Rightarrow A \in d'$.

Chọn $B\left( {0;1} \right) \in d$, tìm $B' = {d_\Delta }\left( B \right)$.

Gọi $\Delta '$ là đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với $\Delta$$\Rightarrow \Delta ':\,\,x + 2y + c = 0$.

$B\left( {0;1} \right) \in \Delta ' \Rightarrow 0 + 2 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 2$$\Rightarrow \Delta ':\,\,x + 2y - 2 = 0$.

Gọi $H = \Delta  \cap \Delta ' \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{4}{5}} \right)$.

$B' = {D_d}\left( B \right) \Rightarrow H$ là trung điểm của $BB'$.

$\Rightarrow B' = 2H - B \Rightarrow B'\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{3}{5}} \right)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua $A,\,\,B'$  nhận $\overrightarrow {AB'}  = \left( { - \dfrac{1}{5}; - \dfrac{7}{5}} \right)\parallel \left( {1;7} \right)$ là 1 VTCP.

$\Rightarrow d':\,\,7\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 7x - y - 5 = 0$.

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow x + 2y - 5 = 0$

Mà $\Delta :x + 2y = 0 \Rightarrow d\parallel \Delta .$

+ Gọi $d'$ là đường thẳng đối xứng với $d$ qua $\Delta$ $\Rightarrow d'$ cũng song song $\Delta$.

$\Rightarrow$ Đường thẳng $d'$ có dạng: $x + 2y + c = 0$.

+ Trên $d$ lấy điểm $A\left( {5;0} \right)$. Trên $\Delta$ lấy điểm $I\left( {2; - 1} \right)$. 

+ Gọi $A' \in d'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$ $\Rightarrow I$ là trung điểm của $AA'$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} =  - 1\\{y_{A'}} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 1; - 2} \right)$ 

Mà $A' \in d' \Rightarrow x + 2y + c = 0$$\Leftrightarrow  - 1 - 4 + c = 0 \Leftrightarrow c = 5.$ 

Vậy phương trình đường thẳng $d'$ là $x + 2y + 5 = 0$.

+ Dễ thấy $A,B$ nằm cùng phía so với trục $Ox$.

+ Gọi $A' =$ Đ$_{Ox}\left( A \right) \Rightarrow A'\left( {1; - 2} \right)$; khi đó ta có $MA = MA'$.

$\Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow M,\,\,A',\,\,B$ thẳng hàng hay $M = A'B \cap Ox$.

+ Phương trình $A'B:\,\,\frac{{x - 1}}{{4 - 1}} = \frac{{y + 2}}{{4 + 2}} \Leftrightarrow 2\left( {x - 1} \right) = y + 2 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0$.

+ Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 4 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;0} \right)$.

Đ$_{Ox}\left[ {M\left( {x;y} \right)} \right] = M'\left( {x';y'} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' =  - y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y =  - y'\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {x'; - y'} \right)$

Thay $M$ vào $\left( P \right)$ ta có $y{'^2} =  - 12x'$.

Đ$_{Ox}\left( P \right) = \left( {P'} \right)$

$\Rightarrow \left( {P'} \right):\,\,{y^2} =  - 12x$.

Trong bốn đáp án chỉ có tam giác cân là hình có trục đối xứng.

Do $ABCD$ nên hai đường chéo $AC \bot BD$ và $AC \cap BD$ tại trung điểm của mỗi đường.

$\Rightarrow AC$ là trung trực của $BD \Rightarrow$ Đ$_{AC}\left( D \right) = B$.

Đường thẳng $b$ qua $M$ và vuông góc với $a$ có phương trình $b:y + 3 = 0.$

Gọi $H = a \cap b,$ tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\y + 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 2; - 3} \right).$

Theo giả thiết: ${D_a}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \Rightarrow H$ là trung điểm của $MM'$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_H} - {x_M}\\y' = 2{y_H} - {y_M}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 8\\y' =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 8; - 3} \right)$  

Đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với $\Delta$ có phương trình $d:x + 2y - 7 = 0$

Gọi $H = d \cap \Delta ,$ tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x + 2y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;3} \right).$

Theo giả thiết:  là trung điểm của $AA'$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_H} - {x_A}\\y' = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 1\\y' = 4\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 1;4} \right).$

Có 3 trục đối xứng như hình vẽ.

Tam giác đều có $3$ trục đối xứng (đường thẳng đi qua đỉnh tam giác và trung điểm cạnh đối diện).

Hình vuông có bốn 4 trục đối xứng. (đường chéo và đường thẳng đi qua trung điểm của cặp cạnh đối diện).

Tọa độ trọng tâm: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = 2\\{y_G} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;1} \right).$

Gọi $G'\left( {x';y'} \right) =$${D_{Oy}}\left[ {G\left( {x;y} \right)} \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 2\\y' = 1\end{array} \right..$

Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục $Ox$:

Gọi $M'\left( {x';y'} \right) =$${D_{Ox}}\left[ {M\left( {x;y} \right)} \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2\\y' =  - 3\end{array} \right..$

Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục $Oy$:

Gọi $A'\left( {x';y'} \right) =$${D_{Oy}}\left[ {A\left( {x;y} \right)} \right]$ thì$\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 3\\y' = 5\end{array} \right.$.

Đoạn thẳng có 1 trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng.

Đường tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm.

Tam giác đều có 3 trục đối xứng là các đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.

Hình vuông có 4 trục đối xứng.

Vậy hình tròn có nhiều trục đối xứng nhất.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $d:y - x = 0$ (đường phân giác góc phần tư thứ nhất) là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = y}\\{y' = x}\end{array}} \right.$.

Thay vào $\left( C \right)$, ta được ${\left( {y' + 1} \right)^2} + {\left( {x' - 4} \right)^2} = 1$ hay ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$