Trong một lớp học có \(2n + 3\) học sinh (n nguyên dương), gồm Hoa, Hồng, Cúc và $2 n$ học sinh khác. Xếp tùy ý \(2n + 3\) học \(\sinh \) trên ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến \(2n + 3\), mỗi học sinh ngồi môt ghế. Giả sử Hoa, Hồng, Cúc được sắp xếp ngồi vào các ghế được đánh số lần lượt là $x, y, z$ và gọi \(p\) là xác suất để $x, y, z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết \(p = \dfrac{{12}}{{575}}\), mệnh đề nào sau đây đúng?
Bước 1:
Số phần tử không gian mẫu là số cách xếp \((2n + 3)\) học sinh vào ghế. Khi đó \(n(\Omega ) = (2n + 3)!\).
Bước 2: Gọi \(T\) là biến cố: "Hoa, Hồng, Cúc được sắp xếp ngồi vào các ghế được đánh số lần lượt là $x, y, z$ sao cho \(y = \dfrac{{x + z}}{2}\)”.
Suy ra \(x + z\) chia hết cho 2 . Khi đó, bài toán trở thành: xếp Hoa và Cúc vào 2 chỗ \(x\) và \(z\) thỏa mãn tổng \(x + z\) là số chẵn (khi đó \(y = \dfrac{{x + z}}{2}\) là duy nhất nên sẽ có duy nhất một cách xếp cho Hồng).
Ta có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: $x, z$ cùng lẻ.
Do từ 1 đến \(2n + 3\) có \(n + 2\) số lẻ, nên trường hợp này có \(A_{n + 2}^2 \cdot (2n)!\) cách xếp.
Trường hợp 2: $x, z$ cùng chẵn.
Từ 1 đến \(2n + 3\) có \(n + 1\) số chẵn, nên trường hợp này có \(A_{n + 1}^2.(2n)!\) cách xếp.
Bước 3: Tìm n
Khi đó số phần tử của biến cố \(T\) là: \(n(T) = \left( {A_{n + 2}^2 + A_{n + 1}^2} \right) \cdot (2n)!\).
Ta có: \(p = \dfrac{{n(T)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{\left( {A_{n + 2}^2 + A_{n + 1}^2} \right) \cdot (2n)!}}{{(2n + 3)!}}\)\( = \dfrac{{12}}{{575}}(*)\).
\((*) \Leftrightarrow \dfrac{{(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)}}{{(2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)}}\)\( = \dfrac{{12}}{{575}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{n + 2 + n}}{{2(2n + 1)(2n + 3)}} = \dfrac{{12}}{{575}}\) (do \(n + 1 > 0\)). \(48{n^2} - 479n - 539 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 11\left( {TN} \right)}\\{n = - \dfrac{{49}}{{48}}(KTM)}\end{array}} \right.\).
=> \(n = 11\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy \(n \le 15\)
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập \(\left\{ {1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng
Có \({\rm{A}}_9^4\) cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ \(X = \left\{ {1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9} \right\}\).
Do đó \(S\) có \({\rm{A}}_9^4 = 3024\) phần tử.
Chọn một số từ tập \(S\) nên \(n\left( \Omega \right) = 3024\).
Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.
Nhận thấy không thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số chẵn nằm cạnh nhau.
+) Trường hợp 1: Cả 4 chữ số đều lẻ.
Chọn 4 số lẻ từ \(X\) và xếp thứ tự có \({\rm{A}}_5^4 = 120\) số.
+) Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn.
Chọn 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn từ \(X\)và xếp thứ tự có \({\rm{C}}_5^3.{\rm{C}}_4^1.4! = 960\) số.
+) Trường hợp 3: Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ.
Có các cách sắp xếp như sau: \(CLCL;LCLC,CLLC\).
Với cách sắp xếp \(CLCL\) thì có \(4.5.3.4 = 240\) số.
Tương tự với hai cách sắp xếp còn lại nên trường hợp này có \(3.240 = 720\) số.
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{120 + 960 + 720}}{{3024}} = \dfrac{{25}}{{42}}\).
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng:
Không gian mẫu: Số các số có 4 chữ số khác nhau lập từ tập hợp \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) là: \(n\left( \Omega \right) = A_9^4 = 3024\).
Gọi A là biến cố: “số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\).
TH1: Cả 4 chữ số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) đều chẵn \( \Rightarrow \) Có \(A_4^4 = 4! = 24\) số.
TH2: Có 1 chữ số lẻ \( \Rightarrow \) Có \(C_4^3.C_5^1.4! = 480\) số.
TH3: Có 2 chữ số lẻ.
Chọn 2 chữ số lẻ có \(A_5^2\) cách.
Có \(3\) cách chọn vị trí cho 2 chữ số lẻ này (ở 3 vị trí \(\left( {a;c} \right);\,\,\left( {a;d} \right);\,\,\left( {b;d} \right)\)).
Chọn 2 chữ số còn lại là 2 số chẵn có \(A_4^2 = 12\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(A_5^2.3.12 = 720\) số.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 24 + 480 + 720 = 1224\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{1224}}{{3024}} = \dfrac{{17}}{{42}}\).
Đề chính thức ĐGNL HCM 2019
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ được xếp chỗ ngồi ngẫu nhiên vào một dãy ghế có 9 chỗ. Xác suất để không có 2 học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau là:
Số cách xếp 9 học sinh vào 9 ghế là 9!=362880
Gọi A là biến cố: “không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau”.
Để xếp 3 nữ, 6 nam vào 9 ghế mà không có 2 nữ ngồi cạnh nhau, ta xếp 6 bạn nam vào 6 vị trí có 6! cách xếp.
Khi đó 6 bạn nam tạo thành 7 chỗ trống xen kẽ 3 nữ vào 7 vị trí đó có: $A^3_7.6!=151200$
Vậy xác suất là:
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{378}{907} \approx 41,68 \%$
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ là:
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào 10 ghế \( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 10!\).
Gọi A là biến cố: “Mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện 1 học sinh nữ”.
Xếp học sinh nam thứ nhất có 10 cách.
Xếp học sinh nam thứ hai có 8 cách (Không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất).
Xếp học sinh nam thứ ba có 6 cách (Không ngồi đối diện 2 nam học sinh trước).
Xếp học sinh nam thứ tư có 4 cách (Không ngồi đối diện 3 học sinh nam trước)
Xếp học sinh nam thứ tư có 2 cách (Không ngồi đối diện 4 học sinh nam trước).
Xếp 5 học sinh nữ có 5! cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 10.8.6.4.2.5!\).
Vậy \(P = \dfrac{{10.8.6.4.2.5!}}{{10!}} = \dfrac{8}{{63}}\).
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(S\). Xác suất để số được chọn được số chia hết cho 3 là
Bước 1: Giả sử số có năm chữ số có dạng \(\overline {abcde} \). Tính không gian mẫu.
Giả sử số có năm chữ số có dạng \(\overline {abcde} \).
Vì số cần tìm chia hết cho 5 nên \(e\) có 2 cách chọn là chữ số 0 và 5 .
Khi đó, \(a\) có 9 cách chọn vì \(a \ne 0\); các vị trí $b, c, d$ mỗi vị trí có 10 cách chọn.
Hay số phần tử tập \({\rm{S}}\) là \({2.9.10^3} = 18000\) phần tử
\( \Rightarrow n(\Omega ) = 18000\).
Bước 2: Gọi biến cố \(B\) : "một số lấy từ tập \({\rm{S}}\) và chia hết cho 3". Tính xác suất.
Gọi biến cố \(B\) : "một số lấy từ tập \({\rm{S}}\) và chia hết cho 3", khi đó số được lấy này phải chia hết cho 15 .
Số có năm chữ số bé nhất chia hết cho 5 là 10000 và lớn nhất là 99995 .
Số có năm chữ số bé nhất chia hết cho 15 là 10005 và lớn nhất là 99990 .
Vì chia hết cho 15 nên các số trong tập \(B\) này có thể xem như một cấp số cộng với \({u_1} = 10005,{u_n} = 99990,d = 15\)\( \Rightarrow n = \dfrac{{99990 - 10005}}{{15}} + 1 = 6000.\)
Hay \(n(B) = 6000\). Vậy \({P_B} = \dfrac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{6000}}{{18000}} = \dfrac{1}{3}\).
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là
Số phần tử không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 6\).
Gọi biến cố A: “mặt chẵn chấm xuất hiện”
Ta có: \(A = \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 3\).
Vậy xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả bóng màu đỏ bằng:
+ Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^3\).
+ Gọi A là biến cố: “Lấy dược 3 quả màu đỏ”
\( \Rightarrow \) Số phần tử thuận lợi của A là : \(n\left( A \right) = C_4^3\).
+ Xác suất: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \dfrac{1}{{30}}\).
Một bình đựng 5 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất để chọn được 3 quả cầu khác màu bằng
Không gian mẫu \(\Omega \) : "Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu trong bình."
Số cách chọn là: \(n(\Omega ) = C_{12}^3 = 220\).
Gọi \(A\) là biến cố: " Chọn được 3 quả cầu khác màu". Khi đó, mỗi loại sẽ chọn 1 quả.
Số cách chọn là: \(n(A) = C_5^1 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1 = 60\).
Xác suất để chọn được 3 quả cầu khác màu là: \(P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{60}}{{220}} = \dfrac{3}{{11}}\).
Từ 12 học sinh gồm 5 hoc sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có hoc sinh giỏi và học sinh khá.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = C_{12}^3C_9^3C_6^3C_3^3\).
Để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá thì:
- Chọn 2 học sinh giỏi và xếp vào 1 trong 4 nhóm: \(C_5^2.C_4^1\).
- Xếp 3 học \(\sinh \) giỏi còn lại vào 3 nhóm còn lại: 3!
- Xếp 4 học sinh khá vào 4 nhóm: 4 !
- Xếp 3 học sinh trung bình: 3!
\( \Rightarrow n(A) = C_5^2 \cdot C_4^1 \cdot 3! \cdot 4! \cdot 3!\)\( \Rightarrow P(A) = \dfrac{{36}}{{385}}.\)
Từ một hộp chứa 16 quả cầu gồm 7 quả màu đỏ và 9 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau bằng
Không gian mẫu có số phần tử là: \(n(\Omega ) = C_{16}^2\).
Gọi biến cố \(A\) là "Lấy được hai quả có màu khác nhau".
=>\(\bar A\) là " Lấy được hai quả cùng màu'.
Ta có \(n(\bar A) = C_7^2 + C_9^2\)
Vậy xác suất cần tìm: \(P(A) = 1 - P(\bar A) = 1 - \dfrac{{C_7^2 + C_9^2}}{{C_{16}^2}} = \dfrac{{21}}{{40}}\)
Gieo một đồng xu và một con xúc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là:
Khi gieo một đồng xu thì có \(2\) khả năng xảy ra, khi gieo một con xúc sắc thì có \(6\) khả năng xảy ra.
Áp dụng quy tắc nhân ta được số phần tử của không gian mẫu là: \(2.6 = 12\) phần tử.
Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi là:
Gọi A là biến cố: “hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.”
Số cách chọn \(2\) trong \(8\) chiếc giày là \(C_8^2 = 28.\)
Số cách chọn \(1\) đôi giày trong \(4\) đôi giày là \(C_4^1=4\)
=> \(n\left( A \right) = C_4^1=4\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n( \Omega )}} = \dfrac{4}{{28}} = \dfrac{1}{7}.\)
Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ \(23\) số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ \(23\) số nguyên dương đầu tiên \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{23}^2 = 253\).
Gọi A là biến cố: “chọn được hai số có tổng là một số chẵn“ \( \Rightarrow \overline A \): “chọn được hai số có tổng là một số lẻ“.
Để tổng của hai số là một số lẻ ta cần chọn một số chẵn, 1 số lẻ.
\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_{12}^1.C_{11}^1 = 12.11 = 132\).
\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{132}}{{253}} = \dfrac{{12}}{{23}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = \dfrac{{11}}{{23}}\).
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 30. Tính xác suất của biến cố : “số được chọn là số nguyên tố” ?
Gọi A là biến cố: “số được chọn là số nguyên tố.”
- Không gian mẫu: \(\left| \Omega \right| = C_{30}^1 = 30.\)
- Trong dãy số tự nhiên nhỏ hơn 30 có 10 số nguyên tố. Các số nguyên tố là $2;3;5;7;11;13;17;19;23;29$.
=> \({\left| \Omega_A \right|}= C_{10}^1 = 10.\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| \Omega_A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{10}}{{30}} = \dfrac{1}{3}.\)
Gieo một đồng xu \(5\) lần liên tiếp. Gọi \(A\) là biến cố “Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Khi đó:
Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp nên $a$ chỉ nhận giá trị \(S\) và \(b,c,d,e\) nhận \(S\) hoặc \(N\) nên \(n\left( {{\Omega _A}} \right) = 1.2.2.2.2 = 16\).
Có \(3\) viên bi đỏ và \(7\) viên bi xanh, lấy ngẫu nhiên \(4\) viên bi . Tính xác suất để lấy được \(2\) bi đỏ và \(2\) bi xanh ?
Số cách chọn \(4\) trong \(10\) viên bi là: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210\) .
Số cách chọn \(2\) bi đỏ và \(2\) bi xanh là: \(n\left( A \right) = C_3^2.C_7^2 = 63\).
Xác suất biến cố \(A\) là : \(P\left( A \right) = \dfrac{{21}}{{70}}\) .
Cho \(A\) là một biến cố liên quan phép thử \(T\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Từ các tính chất trên ta thấy các đáp án A, B, D đều sai, chỉ có đáp án C đúng.
Một bình đựng $12$ quả cầu được đánh số từ $1$ đến $12$. Chọn ngẫu nhiên bốn quả cầu. Xác suất để bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá $8.$
Gọi A là biến cố: “bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8.”
Số cách chọn \(4\) trong số \(12\) quả cầu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495.\)
Số cách chọn \(4\) trong số \(8\) số từ \(1\) đến \(8\) là \(n\left( A \right) = C_8^4 = 70.\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{70}}{{495}} = \dfrac{{14}}{{99}}.\)
Một hộp có $5$ viên bi đỏ và $9$ viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên $2$ viên bi. Xác suất để chọn được $2$ viên bi khác màu là:
Gọi A là biến cố: “chọn được 2 viên bi khác màu.“
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{14}^2 = 91.\)
Số khả năng có lợi cho biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_5^1.C_9^1 = 45.\)
=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{45}}{{91}}.\)
