Khái niệm đạo hàm

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại ${x_0}$.

Ta có $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$$= {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2$$= \Delta x\left( {2{x_0} + \Delta x} \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = 2{x_0}$.

Vậy $f'\left( {{x_0}} \right) = 2{x_0}$.

Định nghĩa $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$ hay $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{{16}}.$

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại ${x_0}$.

Ta có $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$$= \dfrac{1}{{{x_0} + \Delta x}} - \dfrac{1}{{{x_0}}}$$=  - \dfrac{{\Delta x}}{{{x_0}\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - \dfrac{1}{{{x_0}\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}}} \right) =  - \dfrac{1}{{x_0^2}}$.

Vậy $f'\left( {{x_0}} \right) =  - \dfrac{1}{{x_0^2}}$$\Rightarrow f'\left( {\sqrt 2 } \right) =  - \dfrac{1}{2}$.

Ta có $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)$ $= \dfrac{1}{{x + \Delta x}} - \dfrac{1}{x} =  - \dfrac{{\Delta x}}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}}$

$\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} =  - \dfrac{1}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}}.$

Dễ thấy $f\left( x \right) = {x^2} - 1$ khi $x \ge 0$ là hàm đa thức nên nó liên tục tại $x = 2$.

Ngoài ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{2^2} - 1} \right)}}{{x - 2}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4$

Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại $x = 2$.

Xét các giới hạn $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\end{array} \right..$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên hàm số không liên tục tại $x = 0$.

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} =\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt x }}{x} - 0}}{{x - 0}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt x }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{x\sqrt x }} =  + \infty$

$\Rightarrow$ Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

Dựa vào nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại $x = {x_0}$ thì liên tục tại $x = {x_0}$. Điều ngược lại không đúng.

Ta thấy đáp án C đúng.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 3x + 2}} - 0}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 3x + 2}} - 0}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty$

Do đó không tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x = 1$.

Để hàm số có đạo hàm tại $x = 2$ trước tiên hàm số phải liên tục tại $x = 2$, tức là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2}$ $\Leftrightarrow  - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6$

Thử lại với $b = 6$, ta có

$\bullet$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}}\,$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - x} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4;$

$\bullet$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 4.$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}$ nên hàm số có đạo hàm tại $x = 2.$

Ta có: $f\left( 0 \right) =n.0+2= 2$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{m{x^2} + 2x + 2 - 2}}{x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{m{x^2} + 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {mx + 2} \right) = 2$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{nx + 2 - 2}}{x}$  $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{nx}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} n = n$

Hàm số có đạo hàm tại $x = 0$ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow n = 2$.

Vậy $n=2,m\in R$.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 1$, do đó hàm số liên tục tại $x = 1$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = \dfrac{1}{2}$  $\left( 1 \right)$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1$

Hàm số có đạo hàm tại $x = 1$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \Leftrightarrow a = 1$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có $a = 1,\;b =  - \dfrac{1}{2}$.

TXĐ: $D=[-1;+\infty )$

$f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt 2 }}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 1 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt 2 } \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$

Bài giải trên hoàn toàn đúng.

$f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x}  - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 - 4 + x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\end{array}$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 1.$

Ta có $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right) = 2{\left( {x + \Delta x} \right)^3} - 2{x^3} = 6{x^2}\Delta x + 6x{\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{\left( {\Delta x} \right)^3}$

$\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 6{x^2} + 6x\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2}.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x + 3 - 5}}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} - 5}}{{x - 1}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 12x + 9}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x - 9}}{{x - 1}} =  + \infty$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x = 1.$

Ta có:

$f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{x}}}{x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 1 - 1}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2}$

(I) hiển nhiên đúng.

(II) sai.

Ví dụ: Xét hàm số $f\left( x \right) = \left| x \right|$ ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}  = \left| {{x_0}} \right| = f\left( {{x_0}} \right) \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại trên $R.$ Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$

$\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - x}}{x} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\end{array}$

Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 0.$