Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số trên \(\mathbb{R}\) định bởi $f\left( x \right) = {x^2}$ và ${x_0} \in \mathbb{R}$. Chọn câu đúng
Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \({x_0}\).
Ta có \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)\( = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2\)\( = \Delta x\left( {2{x_0} + \Delta x} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = 2{x_0}\).
Vậy $f'\left( {{x_0}} \right) = 2{x_0}$.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại ${x_0}$. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại ${x_0}$ là
Định nghĩa $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$ hay $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x \ne 0}\\{\dfrac{1}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x = 0}\end{array}} \right..$ Tính $f'\left( 0 \right).$
Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{{16}}.$
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ bởi $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại ${x_0} = \sqrt 2 $ là
Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \({x_0}\).
Ta có \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)\( = \dfrac{1}{{{x_0} + \Delta x}} - \dfrac{1}{{{x_0}}}\)\( = - \dfrac{{\Delta x}}{{{x_0}\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - \dfrac{1}{{{x_0}\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\).
Vậy $f'\left( {{x_0}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}$$ \Rightarrow f'\left( {\sqrt 2 } \right) = - \dfrac{1}{2}$.
Tính tỷ số $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ của hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) theo \(x\) và \(\Delta x.\)
Ta có \(\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\) \( = \dfrac{1}{{x + \Delta x}} - \dfrac{1}{x} = - \dfrac{{\Delta x}}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \dfrac{1}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{khi}}\;\;x \ge 0}\\{ - {x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x < 0}\end{array}} \right..\) Khẳng định nào sau đây sai?
Dễ thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) khi \(x \ge 0\) là hàm đa thức nên nó liên tục tại \(x = 2\).
Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{2^2} - 1} \right)}}{{x - 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\)
Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại \(x = 2\).
Xét các giới hạn $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\end{array} \right..$
Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
Do đó, hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$. Xét hai mệnh đề sau:
(I) Hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và \(f'\left( 0 \right) = 1\)
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 0\).
Mệnh đề nào đúng?
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} =\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt x }}{x} - 0}}{{x - 0}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt x }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{x\sqrt x }} = + \infty $
$\Rightarrow $ Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?
Dựa vào nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại \(x = {x_0}\) thì liên tục tại \(x = {x_0}\). Điều ngược lại không đúng.
Ta thấy đáp án C đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 3x + 2}} - 0}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 3x + 2}} - 0}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = - \infty \)
Do đó không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x = 1$.
Tìm tham số thực \(b\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 2}\\{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\rm{khi}}\;\;x > 2}\end{array}} \right.$ có đạo hàm tại \(x = 2.\)
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 2\) trước tiên hàm số phải liên tục tại \(x = 2\), tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2}\) \( \Leftrightarrow - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6\)
Thử lại với \(b = 6\), ta có
\( \bullet \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}}\,\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - x} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4;\)
\( \bullet \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 4.\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\) nên hàm số có đạo hàm tại \(x = 2.\)
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m{x^2} + 2x + 2}&{{\rm{khi}}\;\;x > 0}\\{nx + 2}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 0}\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của các tham số $m,{\rm{ }}\;n$ sao cho $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = 0$.
Ta có: $f\left( 0 \right) =n.0+2= 2$
+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{m{x^2} + 2x + 2 - 2}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{m{x^2} + 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {mx + 2} \right) = 2$
+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{nx + 2 - 2}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{nx}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} n = n$
Hàm số có đạo hàm tại $x = 0$ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$
$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow n = 2$.
Vậy $n=2,m\in R$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2}}}{2}}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 1}\\{ax + b}&{{\rm{khi}}\;\;x > 1}\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của các tham số $a,{\rm{ }}\;b$ sao cho $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = 1$.
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\), do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = \dfrac{1}{2}\) \(\left( 1 \right)\)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1$
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \Leftrightarrow a = 1\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có \(a = 1,\;b = - \dfrac{1}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 1\)
TXĐ: $D=[-1;+\infty )$
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{x - 1}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 1 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt 2 } \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Khi tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 5x - 3\) tại điểm \({x_0} = 2\), một học sinh đã tính theo các bước sau:
Bước 1: \(f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( x \right) - 11\)
Bước 2: \(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2} + 5x - 3 - 11}}{{x - 2}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{x - 2}} = x + 7\)
Bước 3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 7} \right) = 9 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 9\)
Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?
Bài giải trên hoàn toàn đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào sau đây?
$f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 - 4 + x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,\,khi\,\,x > 1\\{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Tính \(f'\left( 1 \right)\) ?
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\end{array}\)
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 1.$
Tính tỷ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) của hàm số \(y = 2{x^3}\) theo \(x\) và \(\Delta x.\)
Ta có \(\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right) = 2{\left( {x + \Delta x} \right)^3} - 2{x^3} = 6{x^2}\Delta x + 6x{\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{\left( {\Delta x} \right)^3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 6{x^2} + 6x\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x + 3 - 5}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} - 5}}{{x - 1}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 12x + 9}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x - 9}}{{x - 1}} = + \infty $
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x = 1.$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Ta có:
\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}}{x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 1 - 1}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2}\)
Xét hai mệnh đề:
(I) $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f(x)$ liên tục tại $x_0$
(II) $f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$
Mệnh đề nào đúng?
(I) hiển nhiên đúng.
(II) sai.
Ví dụ: Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \left| {{x_0}} \right| = f\left( {{x_0}} \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại trên $R.$ Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$
$\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - x}}{x} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\end{array}$
Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 0.$
