Các quy tắc tính xác suất

Gọi A là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”

Gọi B là biến cố “ người thứ hai bắn trúng”

Suy ra \(P\left( A \right) = 0,8,P\left( B \right) = 0,7\)

Và AB là biến cố “cả hai người đều bắn trúng”

Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,8.0,7 = 0,56\)

Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một viên trúng vòng 10”.

Khi đó biến cố đối của biến cố A là: \(\overline A \): “Không có viên nào trúng vòng 10”.

\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \left( {1 - 0,75} \right).\left( {1 - 0,85} \right) = 0,0375\).

\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,0375 = 0,9625\).

Bước 1: Gọi \(A\) là biến cố: "động cơ 1 bị hỏng", gọi \(B\) là biến cố: "động cơ 2 bị hỏng".

Gọi \(A\) là biến cố: "động cơ 1 bị hỏng", gọi \(B\) là biến cố: "động cơ 2 bị hỏng".

Suy ra \(A\). \(B\) là biến cố: "cả hai động cơ bị hỏng" tức là biến cố: "xe không chạy được nữa".

Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.

Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân để tính xác suất xe đi được.

\( \Rightarrow \) Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là \(P(A \cdot B) = 0,5.0,4 = 0,2.\)

Vậy xác suất để xe đi được là \(1 - 0,2 = 0,8\).

Giả sử máy tính đã chọn ra đề 1. Ta xét xác suất về số lượng câu hỏi trong đề 2 giống đề 1.

Ở mỗi hạng mục, xác suất để một câu hỏi của hai đề giống nhau và khác nhau lần lượt là \(0,1\) và \(0,9\).

Xác suất để 2 đề không trùng nhau câu hỏi nào là: \(0,{9^{30}}\).

Xác suất để 2 đề chỉ trùng nhau đúng 1 câu hỏi là: \(C_{30}^1.0,1.0,{9^{29}}\).

Xác suất để 2 đề thi trùng nhau đúng 2 câu hỏi là: \(C_{30}^2.0,{1^2}.0,{9^{28}}\).

Xác suất để 2 đề thi trùng nhau từ 3 câu hỏi trở lên là:

\(1 - \left( {0,{9^{30}} + C_{30}^1.0,1.0,{9^{29}} + C_{30}^2.0,{1^2}.0,{9^{28}}} \right) = 0,589\).

Vậy ta chọn phương án D.

Bước 1:

Xác suất sút 1 lần trúng là 0,7 nên xác suất sút 1 lần trượt là 0,3.

Bước 2:

Mà 2 lần sút là độc lập nên có 2 khả năng có thể xảy ra về thứ tự sút trượt và và sút trúng:

+) Lần 1 trùng, lần 2 trượt.

+) Lần 1 trượt, lần 2 trúng.

Bước 3:

Do đó xác suất là \(0,7.0,3.2 = 0,42.\)

$n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45$

Gọi $A$:”2 người được chọn không có nữ” thì $A$:”2 người được chọn đều là nam”.

Ta có $n(A) = C_7^2 = 21$. Vậy $P(A) = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}$.

$n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45$

Gọi $A$:”2 người được chọn có ít nhất 1 nữ” thì $\overline A $:”2 người được chọn không có nữ” hay

$\overline A $:”2 người được chọn đều là nam”.

Ta có $n(\overline A ) = C_7^2 = 21$. Do đó $P(\overline A ) = \dfrac{{21}}{{45}}$ suy ra $P(A) = 1 - P(\overline A ) = 1 - \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{{24}}{{45}} = \dfrac{8}{{15}}$.

$n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45$. Gọi $A$:”2 người được chọn có đúng 1 nữ”

Chọn 1 nữ có 3 cách, chọn 1 nam có 7 cách suy ra  $n(A) = 7.3 = 21$. Do đó $P(A) = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}$.

Ta có: $n(\Omega ) = C_{16}^3 = 560$.

Gọi $A$:”lấy được 3 viên bi không đỏ” thì $A$:”lấy được 3 viên bi trắng hoặc đen”

Có $7 + 6 = 13$ viên bi trắng hoặc đen. Ta có $n(A) = C_{13}^3 = 286$.

Vậy $P(A) = \dfrac{{286}}{{560}} = \dfrac{{143}}{{280}}$.

Ta có: $n(\Omega ) = C_{16}^3 = 560$. Gọi $A$:”lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên vi đen, 1 viên bi đỏ”

Ta có $n(A) = 7.6.3 = 126$.

Vậy $P(A) = \dfrac{{126}}{{560}} = \dfrac{9}{{40}}$.

$n(\Omega ) = 3.3.3 = 27$. Gọi $A$:”tổng số ghi trên ba tấm thẻ là 6”.

Để tổng số ghi trên ba tấm thẻ là 6 thì có các tổng sau:

$1 + 2 + 3 = 6$, khi đó hoán vị 3 phần tử 1, 2, 3 ta được $3! = 6$ cách.

$2 + 2 + 2 = 6$, khi đó ta có 1 cách.

Do đó $n(A) = 6 + 1 = 7$. Vậy $P(A) = \dfrac{7}{{27}}$.

$n(\Omega ) = 6.6 = 36$. Gọi $A$:”hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 2”.

Các hiệu có thể bằng 2 là:

$3 - 1 = 2$, $4 - 2 = 2$, $5 - 3 = 2$, $6 - 4 = 2$.

A={(1;3),(2;4),(3;5);(4;6);(3;1);(4;2);(5;3);(6;4)}

Do đó $n(A) = 8$. Vậy $P(A) = \dfrac{8}{{36}} = \dfrac{2}{9}$.

$n(\Omega ) = C_{10}^6 = 210$. Gọi $A$:”số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2”.

Trong tập đã cho có 2 số nhỏ hơn số 3, có 7 số lớn hơn số 3.

+ Chọn 1 số nhỏ hơn số 3 ở vị trí đầu có: 2 cách.

+ Chọn số 3 ở vị trí thứ hai có: 1 cách.

+ Chọn 4 số lớn hơn 3 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần có: $C_7^4 = 35$ cách.

Do đó $n(A) = 2.1.35 = 70$. Vậy $P(A) = \dfrac{{70}}{{210}} = \dfrac{1}{3}$.

$n(\Omega ) = C_{11}^6 = 462$. Gọi $A$:”tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ”.

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn.Để có tổng là một số lẻ ta có 3 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn có: $6.C_5^5 = 6$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn có: $C_6^3.C_5^3 = 200$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 5 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn có: $C_6^5.5 = 30$ cách.

Do đó$n(A) = 6 + 200 + 30 = 236$. Vậy $P(A) = \dfrac{{236}}{{462}} = \dfrac{{118}}{{231}}$.

Vì \(P(AB) = P(A).P(B)\) nên A và B là hai biến cố độc lập.

Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “

Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ.“=>\(P\left( X \right) = \dfrac{1}{5}.\)

Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ.“=>\(P\left( Y \right) = \dfrac{2}{7}.\)

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {X.Y} \right) = P\left( X \right).P\left( Y \right) = \dfrac{1}{5}.\dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{{35}}.\)

Gọi X là biến cố: “có đúng 2 người bắn trúng đích “

Gọi A là biến cố: “người thứ nhất bắn trúng đích “=>\(P\left( A \right) = 0,8;P\left( {\overline A } \right) = 0,2.\)

Gọi B là biến cố: “người thứ hai bắn trúng đích “=>\(P\left( B \right) = 0,6;P\left( {\overline B } \right) = 0,4.\)

Gọi C là biến cố: “người thứ ba bắn trúng đích “=>\(P\left( C \right) = 0,5;P\left( {\overline C } \right) = 0,5.\)

Ta thấy biến cố A, B, C là 3 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( X \right) = P\left( {A.B.\overline C } \right) + P\left( {A.\overline B .C} \right) + P\left( {\overline A .B.C} \right) = 0,8.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 + 0,2.0,6.0,5 = 0,46.\)

Gọi A là biến cố: “có ít nhất một viên trúng vòng 10.”

-\(\overline A \) là biến cố: “Không viên nào trúng vòng 10.”

=>\(P\left( {\overline A } \right) = \left( {1 - 0,75} \right).\left( {1 - 0,85} \right) = 0,0375.\)

=>\(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,0375 = 0,9625.\)

Ta có: $\overline A $:”không có lần nào xuất hiện mặt sấp” hay cả 3 lần đều mặt ngửa.

Theo quy tắc nhân xác suất: $P(\overline A ) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$.

Vậy: $P(A) = 1 - P(\overline A ) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,8\); \(P\left( {{A_2}} \right) = 0,6\) ; \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,5\)

Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng: $P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).\overline {P\left( {{A_3}} \right)}  + P\left( {{A_1}} \right).\overline {P\left( {{A_2}} \right)} .P\left( {{A_3}} \right) + \overline {P\left( {{A_1}} \right)} .P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 0,46$