Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt

Ta có : \(\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = BB'\,\left( {Do\,\,BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\), suy ra đáp án A đúng.

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên các mặt bên của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là các hình chữ nhật, suy ra đáp án B đúng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}BB'//AA' \subset \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BB'//\left( {ACC'A'} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'A'} \right)} \right)\end{array}\)

Suy ra đáp án C đúng.

Từ hình vẽ ta thấy \(DC'//AB'\) nên đáp án D sai.

Do \(ADC'B'\) là hình bình hành nên \(AB'//DC'\).

Do \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(AD'//BC'\).

Mà \(AB',AD' \subset \left( {AB'D'} \right);BC',DC' \subset \left( {BC'D} \right)\) nên \(\left( {AB'D'} \right)//\left( {BC'D} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right),A'M\) cắt \(B'B\) tại \(I\).

Trong mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right),IC'\) cắt \(BC\) tại \(N\).

Tứ giác \(A'MNC'\) là thiết diện cần tìm.

Ta có: \(MB//A'B' \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{A'B'}} = \dfrac{{IB}}{{IB'}} = \dfrac{{IM}}{{IA'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M\) là trung điểm \(IA'\).

Mà \(BN//B'C' \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IB'}} = \dfrac{{IN}}{{IC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow N\) là trung điểm \(IC'\).

Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(IA'C' \Rightarrow MN//A'C' \Rightarrow MNC'A'\) là hình thang.

Ta có: \(AB//CD,AA'//DD'\) và \(AA',AB \subset \left( {ABB'A'} \right);CD,DD' \subset \left( {CDD'C'} \right)\)

Do đó \(mp\left( {AA'B'B} \right)//mp\left( {DD'C'C} \right)\), đáp án B đúng.

Mặt khác,

\(\left. \begin{array}{l}\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = A'B'\\\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = C'D'\\\left( {ABB'A'} \right)//\left( {DCC'D'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B'//C'D'\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = A'D'\\\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = C'B'\\\left( {ADD'A'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'D'//C'B'\)

Do đó, tứ giác \(A'B'C'D'\) là hình bình hành nên đáp án A đúng.

Do \(O,O'\) lần lượt là tâm các hình bình hành nên \(O,O'\) lần lượt là trung điểm của \(AC,A'C'\) nên \(OO'\) là đường trung bình trong hình thang \(AA'C'C\).

Do đó \(OO'//AA'\) nên D đúng.

Các mặt chéo của hình hộp là: \(\left( {ADC'B'} \right),\left( {A'D'CB} \right),\left( {ABC'D'} \right),\left( {DCB'A'} \right),\left( {ACC'A'} \right),\left( {BDD'B'} \right)\).

Ta sử dụng tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó sẽ cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ADD'A'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\\\left( {ABM} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = BM\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABM} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = AN//BM\) với \(N \in DD'\).

Do đó tứ giác \(ABMN\) là hình thang.

Lại có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABB'A'} \right)//\left( {DCC'D'} \right)\\\left( {ABMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AB\\\left( {ABMN} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = MN\end{array} \right\} \Rightarrow AB//MN\)

Do đó tứ giác \(ABMN\) là hình bình hành.

\(ADC'B'\) là hình bình hành có \(OO'\) là đường trung bình nên \(\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {AD} \) và đáp án A, D đúng.

Mà \(OO'//AD\) nên \(OO'//\left( {ADD'A'} \right)\) nên B đúng.

Ngoài ra \(OO'\) và \(BB'\) chéo nhau nên C sai.

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {IB'D'} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D'\\\left( {A'B'C'D'} \right)//\left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {IB'D'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = JI//B'D'\) với \(J \in AD\)

Mà \(BD//B'D'\) nên \(JI//BD \Rightarrow J\) là trung điểm của \(AD\).

Vậy thiết diện là hình thang \(JIB'D'\).

Vì \(M,M'\) là trung điểm của \(BC,B'C'\) nên \(MM'//BB'//CC'//AA'\) và \(MM' = BB' = CC' = AA'\).

Do đó \(A'M'MA\) là hình bình hành nên bốn điểm \(A,A',M,M'\) đồng phẳng.

Ngoài ra \(G' \in A'M',G \in AM\) nên hai điểm \(G,G'\) cũng thuộc mặt phẳng \(\left( {AMM'A'} \right)\).

Nên bốn điểm \(A,G',M',G\) đồng phẳng.

Gọi \(D = AN \cap A'C' \Rightarrow D \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right)\) và \(E = AM \cap A'B' \Rightarrow E \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right)\).

Khi đó \(DE = \left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = \Delta \).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \cap \left( {MNC'B'} \right) = MN\\\left( {A'B'C'} \right) \cap \left( {MNC'B'} \right) = B'C'\\\left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = DE\\MN//B'C'\end{array} \right. \Rightarrow MN//B'C'//DE\) (định lý ba giao tuyến)

Do đó \(DE//B'C'//BC\).

Gọi \(K = BC' \cap B'C\) và \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Khi đó \(AHB'I\) là hình bình hành \(\left( {AI//HB',AI = HB'} \right)\).

Suy ra \(AH//B'I\).

Mặt khác, xét tam giác \(ABC'\) có \(IK\) là đường trung bình của tam giác nên \(IK//AC'\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}IB'//AH\\IK//AC'\\IB',IK \subset \left( {IB'C} \right)\\AH,AC' \subset \left( {AHC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IB'C} \right)//\left( {AHC'} \right) \Rightarrow B'C//\left( {AHC'} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AA'//DD'\\AB//CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AA'B'B} \right)//\left( {DD'C'C} \right) \Rightarrow A\) đúng.

Có: $A’B’ // CD$ và $A’B’ = CD$ nên $A’B’CD$ là hình bình hành, do đó C đúng.

B sai vì \(I = AC' \cap BD' \Rightarrow I \in \left( {BA'D'} \right) \cap \left( {ADC'} \right)\) nên hai mặt phẳng không song song.

D đương nhiên đúng.

Thiết diện tạo thành là hình bình hành.

Các mặt bên của hình chóp cụt chỉ là những hình thang chứ không phải hình thang cân.

Hình thoi cũng là một hình bình hành nên hình lăng trụ có đáy là hình thoi cũng là một hình hộp

Hai đỉnh của hình hộp được gọi là đối diện nếu chúng không cùng nằm trên một mặt nào của hình hộp. Vậy chỉ có 4 cặp đỉnh đối diện trong hình hộp.

Hai cạnh kề bất kỳ của hình lăng trụ không song song với nhau.

Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành có thể không bằng nhau.

Vậy các khẳng định đúng là (1), (4), (5).