Phép tịnh tiến

Bước 1:

Đường tròn (C): ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$có tâm I(1;-2); bán kinh R=3.

Bước 2:

Gọi I’ là tâm đường tròn (C’).

Phép tịnh tiến điểm I thành điểm I’ theo véc-tơ $\overrightarrow v \left( {3;3} \right)$thì $\overrightarrow {II'}  = \overrightarrow v$

Suy ra $I'\left( {4;1} \right)$

Bước 3:

Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên:

Đường tròn (C’) có tâm là $I'\left( {4;1} \right)$; R=3.

Vậy (C’):${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9$

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right)$ và $M'\left( {x';y'} \right) = F\left( M \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 1\end{array} \right.$.

$\Rightarrow M\left( {x' + 3;y' - 1} \right)$.

Vì $M \in \left( P \right) \Rightarrow y' - 1 = {\left( {x' + 3} \right)^2} + 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' = x{'^2} + 6x' + 9 + 1 + 1\\ \Leftrightarrow y' = x{'^2} + 6x' + 11\end{array}$

Do đó điểm $M'$ thuộc $\left( {P'} \right):\,\,y = {x^2} + 6x + 11$.

Vậy phép dời hình đã cho biến $\left( P \right):\,\,y = {x^2} + 1$ thành $\left( {P'} \right):\,\,y = {x^2} + 6x + 11$.

Để phép tịnh tiến theo $\overrightarrow v$ biến đường thẳng d thành chính nó thì $\overrightarrow v \left( {2;m} \right)$ phải cùng phương với đường thẳng d.

Đường thẳng d có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {2; - 1} \right)$, do đó $\overrightarrow v \left( {2;m} \right)$ và  $\overrightarrow u \left( {2; - 1} \right)$ cùng phương.

Vậy $m =  - 1$.

Ta có: $IN$ là đường trung bình của tam giác $ACD \Rightarrow IN = \dfrac{1}{2}AD = AM$.

$\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {IN}  \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AM} }}\left( I \right) = N$.

Dễ thấy $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MD}  \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AM} }}\left( M \right) = D$ và hiển nhiên ${T_{\overrightarrow {AM} }}\left( A \right) = M$.

Vậy ${T_{\overrightarrow {AM} }}\left( {\Delta AMI} \right) = \Delta MDN$.

Vì $\Delta  = {T_{\overrightarrow u }}\left( d \right) \Rightarrow \Delta \parallel d \Rightarrow$ Phương trình $\Delta$ có dạng: $x - 2y + c = 0\,\,\left( \Delta  \right)$.

Lấy $A\left( {1;0} \right)$ bất kì thuộc $d$. Gọi $A' = {T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) \Rightarrow A' \in \Delta$.

Ta có: $A' = {T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + {x_{\overrightarrow u }} = 1 + 4 = 5\\{y_{A'}} = {y_A} + {y_{\overrightarrow u }} = 0 + 3 = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {5;3} \right)$.

Vì $A' \in \Delta  \Rightarrow 5 - 2.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $x - 2y + 1 = 0$.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \Delta ;{T_{\overrightarrow u }}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in \Delta '$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 1\\y = y' - 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {x' + 1;y' - 2} \right) \in d$

$M \in d \Rightarrow 2\left( {x' + 1} \right) - 3\left( {y' - 2} \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow 2x' - 3y' + 3 = 0$

Vậy phương trình ảnh của đường thẳng $\Delta$ là: $\Delta ' = 2x - 3y + 3 = 0$.

Bước 1:

Vì $\Delta '\parallel \Delta$ nên phương trình $\Delta '$ có dạng $\Delta ':x + 2y + c = 0$.

Bước 2:

Lấy $A\left( {1;0} \right) \in \Delta$, khi đó ${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 1 + 1 = 2\\{y_{A'}} = 0 - 1 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {2; - 1} \right)$.

Bước 3:

$A' \in \Delta ' \Leftrightarrow 2 + 2.\left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = 0$.

Bước 4:

Vậy phương trình $\Delta ':x + 2y = 0$.

Ta có $\overrightarrow {MM'}  = \left( {x' - x;y' - y} \right)$.

Theo giả thiết ${T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - x = a\\y' - y = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$

Theo giả thiết, ta có $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + 2\\y' = y - 3\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {2; - 3} \right).$

Gọi $\vec v = \left( {a;b} \right)$.

Theo giả thiết: ${T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \vec v$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - \left( { - 10} \right) = a\\8 - 1 = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = 7\end{array} \right.$

Có đúng một phép tịnh tiến. Tịnh tiến theo vectơ–không.

Giả sử có phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v }}$ biến $A$ thành $A'$  và biến $B$ thành $B'$.

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \vec v\\{T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) = B' \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'}  = \vec v\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA'}  = \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {A'B'}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'}$

Giả sử $a$ cắt $b$ tại $M;$ $a'$ cắt $b'$ tại $M'.$

Khi đó vectơ $\overrightarrow {MM'}$ là vectơ tịnh tiến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vectơ tịnh tiến $\overrightarrow {AC}$ biến đường thẳng AB thành CD và biến AD thành BC. Chọn B.

Ta có ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( M \right) = M'$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow M' \in CD$.

Bước 1:

Gọi $A'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 2;y - 5} \right).$

Bước 2:

Ta có ${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\y - 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 7\end{array} \right.$

Gọi $A'\left( {x;y} \right)$ là ảnh của $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v  = \left( { - 3;2} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 1;y - 3} \right).$

Ta có ${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \vec v$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 3\\y - 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 5\end{array} \right.$

Gọi $\vec v$ là vectơ thỏa mãn ${T_{\vec v}}\left( A \right) = A'$$\Rightarrow \vec v = \overrightarrow {AA'}  = \left( {2016;2016} \right)$

Đường thẳng biến thành chính nó khi nó có vectơ chỉ phương cùng phương với $\vec v.$

Xét đáp án B. Đường thẳng có phương trình $x - y - 100 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1; - 1} \right)$, suy ra vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;1} \right)\parallel \vec v$ (thỏa mãn).

Bước 1:

Đường thẳng $d$ có VTPT $\vec n = \left( {2; - 1} \right)$ $\Rightarrow$ VTCP $\vec u = \left( {1;2} \right)$.

Bước 2:

Để $d$ biến thành chính nó khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow v$ cùng phương với vectơ chỉ phương của $d.$

Vậy $\vec v = \left( {1;2} \right).$

Chọn $A\left( {0;4} \right) \in d$.

Ta có ${T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = A'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 + m\\y = 4 + \left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {m;1} \right).$

Vì ${T_{\overrightarrow u }}$ biến $a$ thành $b$ nên $A' \in b \Leftrightarrow 2m - 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.$