Phép tịnh tiến

Bước 1:

Đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\)có tâm I(1;-2); bán kinh R=3.

Bước 2:

Gọi I’ là tâm đường tròn (C’).

Phép tịnh tiến điểm I thành điểm I’ theo véc-tơ \(\overrightarrow v \left( {3;3} \right)\)thì \(\overrightarrow {II'}  = \overrightarrow v \)

Suy ra \(I'\left( {4;1} \right)\)

Bước 3:

Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên:

Đường tròn (C’) có tâm là \(I'\left( {4;1} \right)\); R=3.

Vậy (C’):\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\)

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right)\) và \(M'\left( {x';y'} \right) = F\left( M \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( {x' + 3;y' - 1} \right)\).

Vì \(M \in \left( P \right) \Rightarrow y' - 1 = {\left( {x' + 3} \right)^2} + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' = x{'^2} + 6x' + 9 + 1 + 1\\ \Leftrightarrow y' = x{'^2} + 6x' + 11\end{array}\)

Do đó điểm \(M'\) thuộc \(\left( {P'} \right):\,\,y = {x^2} + 6x + 11\).

Vậy phép dời hình đã cho biến \(\left( P \right):\,\,y = {x^2} + 1\) thành \(\left( {P'} \right):\,\,y = {x^2} + 6x + 11\).

Để phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \) biến đường thẳng d thành chính nó thì \(\overrightarrow v \left( {2;m} \right)\) phải cùng phương với đường thẳng d.

Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1} \right)\), do đó \(\overrightarrow v \left( {2;m} \right)\) và  \(\overrightarrow u \left( {2; - 1} \right)\) cùng phương.

Vậy \(m =  - 1\).

Ta có: \(IN\) là đường trung bình của tam giác \(ACD \Rightarrow IN = \dfrac{1}{2}AD = AM\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {IN}  \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AM} }}\left( I \right) = N\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MD}  \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AM} }}\left( M \right) = D\) và hiển nhiên \({T_{\overrightarrow {AM} }}\left( A \right) = M\).

Vậy \({T_{\overrightarrow {AM} }}\left( {\Delta AMI} \right) = \Delta MDN\).

Vì \(\Delta  = {T_{\overrightarrow u }}\left( d \right) \Rightarrow \Delta \parallel d \Rightarrow \) Phương trình \(\Delta \) có dạng: \(x - 2y + c = 0\,\,\left( \Delta  \right)\).

Lấy \(A\left( {1;0} \right)\) bất kì thuộc \(d\). Gọi \(A' = {T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) \Rightarrow A' \in \Delta \).

Ta có: \(A' = {T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + {x_{\overrightarrow u }} = 1 + 4 = 5\\{y_{A'}} = {y_A} + {y_{\overrightarrow u }} = 0 + 3 = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {5;3} \right)\).

Vì \(A' \in \Delta  \Rightarrow 5 - 2.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(x - 2y + 1 = 0\).

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \Delta ;{T_{\overrightarrow u }}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in \Delta '\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 1\\y = y' - 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {x' + 1;y' - 2} \right) \in d\)

\(M \in d \Rightarrow 2\left( {x' + 1} \right) - 3\left( {y' - 2} \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow 2x' - 3y' + 3 = 0\)

Vậy phương trình ảnh của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\Delta ' = 2x - 3y + 3 = 0\).

Bước 1:

Vì \(\Delta '\parallel \Delta \) nên phương trình \(\Delta '\) có dạng \(\Delta ':x + 2y + c = 0\).

Bước 2:

Lấy \(A\left( {1;0} \right) \in \Delta \), khi đó \({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 1 + 1 = 2\\{y_{A'}} = 0 - 1 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {2; - 1} \right)\).

Bước 3:

\(A' \in \Delta ' \Leftrightarrow 2 + 2.\left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\).

Bước 4:

Vậy phương trình \(\Delta ':x + 2y = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {x' - x;y' - y} \right)\).

Theo giả thiết \({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - x = a\\y' - y = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Theo giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + 2\\y' = y - 3\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {2; - 3} \right).\)

Gọi $\vec v = \left( {a;b} \right)$.

Theo giả thiết: ${T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \vec v$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - \left( { - 10} \right) = a\\8 - 1 = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = 7\end{array} \right.$

Có đúng một phép tịnh tiến. Tịnh tiến theo vectơ–không.

Giả sử có phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow v }}\) biến $A$ thành $A'$  và biến $B$ thành $B'$.

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \vec v\\{T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) = B' \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'}  = \vec v\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA'}  = \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {A'B'} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \)

Giả sử \(a\) cắt \(b\) tại \(M;\) \(a'\) cắt \(b'\) tại \(M'.\)

Khi đó vectơ \(\overrightarrow {MM'} \) là vectơ tịnh tiến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vectơ tịnh tiến \(\overrightarrow {AC} \) biến đường thẳng AB thành CD và biến AD thành BC. Chọn B.

Ta có ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( M \right) = M'$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow M' \in CD$.

Bước 1:

Gọi \(A'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 2;y - 5} \right).\)

Bước 2:

Ta có \({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\y - 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 7\end{array} \right.\)

Gọi \(A'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của \(A\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { - 3;2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 1;y - 3} \right).\)

Ta có ${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \vec v$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 3\\y - 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 5\end{array} \right.$

Gọi \(\vec v\) là vectơ thỏa mãn \({T_{\vec v}}\left( A \right) = A'\)\( \Rightarrow \vec v = \overrightarrow {AA'}  = \left( {2016;2016} \right)\)

Đường thẳng biến thành chính nó khi nó có vectơ chỉ phương cùng phương với \(\vec v.\)

Xét đáp án B. Đường thẳng có phương trình $x - y - 100 = 0$ có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 1} \right)\), suy ra vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1} \right)\parallel \vec v\) (thỏa mãn).

Bước 1:

Đường thẳng \(d\) có VTPT \(\vec n = \left( {2; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \) VTCP \(\vec u = \left( {1;2} \right)\).

Bước 2:

Để \(d\) biến thành chính nó khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow v \) cùng phương với vectơ chỉ phương của \(d.\)

Vậy \(\vec v = \left( {1;2} \right).\)

Chọn \(A\left( {0;4} \right) \in d\).

Ta có \({T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = A'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 + m\\y = 4 + \left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {m;1} \right).\)

Vì \({T_{\overrightarrow u }}\) biến \(a\) thành \(b\) nên \(A' \in b \Leftrightarrow 2m - 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)