Với mọi số tự nhiên $n$, tổng \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho:
Với n = 0 ta có: \({S_0} = 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3\) cũng chia hết cho 3.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12\\ = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\end{array}\)
Có: \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, \(3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\), do đó \({S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\)
Vậy \({S_n}\,\, \vdots \,\,3\) với mọi số tự nhiên n.
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), hãy rút gọn biểu thức \(S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n\left( {3n + 1} \right)\).
Để chọn được \(S\) đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của \(n\).
Với \(n = 1\) thì \(S = 1.4 = 4\) (loại ngay được phương án B và C); với \(n = 2\) thì \(S = 1.4 + 2.7 = 18\) (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính \(S\) trong các trường hợp \(n = 1,S = 4;{\rm{ }}n = 2,S = 18;{\rm{ }}n = 3,S = 48\) ta dự đoán được công thức \(S = n{\left( {n + 1} \right)^2}\).
Cách 3: Ta tính \(S\) dựa vào các tổng đã biết kết quả như \(1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) và \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\). Ta có: \(S = 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) + \left( {1 + 2 + ... + n} \right) = n{\left( {n + 1} \right)^2}\).
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), đặt \({T_n} = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2}\) và \({M_n} = {2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng
Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của \(n\).
Với \(n = 1\) thì \({T_1} = {1^2} + {2^2} = 5;{M_1} = {2^2} = 4\) nên \(\dfrac{{{T_1}}}{{{M_1}}} = \dfrac{5}{4}\) (loại ngay được các phương án B, C, D).
Với mỗi số nguyên dương \(n\), đặt \(S = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng
Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của $n$.
+ Với \(n = 1\) thì $S = {1^2} = 1$ (loại được các phương án B và D);
+ Với \(n = 2\)thì $S = {1^2} + {2^2} = 5$ (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
Tìm số nguyên dương \(p\) nhỏ nhất để \({2^n} > 2n + 1\) với mọi số nguyên \(n \ge p\).
Dễ thấy \(p = 2\) thì bất đẳng thức \({2^p} > 2p + 1\) là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với \(p = 3\) ta thấy \({2^p} > 2p + 1\) là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng \({2^n} > 2n + 1\) với mọi \(n \ge 3\).
Vậy \(p = 3\) là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Đặt \({S_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}\),với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).Mệnh đề nào dưới đây đúng
Cách 1: Rút gọn biểu thức \({S_n}\) dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
Với mọi số nguyên dương $k$, ta có \(\dfrac{1}{{(2k - 1)(2k + 1)}} \\=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{(2k - 1)(2k + 1)}} \\=\dfrac{1}{2}.\dfrac{(2k+1)-(2k-1)}{{(2k - 1)(2k + 1)}} =\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{2k - 1}} - \dfrac{1}{{2k + 1}}} \right)\).
\(\dfrac{1}{1.3}=\dfrac{1}{2}\left( 1 - \dfrac{1}{3}\right)\)
\(\dfrac{1}{{3.5}} =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right)\)
Cứ như thế, ta có: \(\dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}} \right) \)
Do đó:\({S_n} = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right) = \dfrac{n}{{2n + 1}}\).
Vậy phương án đúng là phương án C.
Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \({2^{n + 1}} > {n^2} + 3n.\)
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp \(n = 1,2,3,4,\) ta dự đoán được \({2^{n + 1}} > {n^2} + 3n,\) với \(n \ge 4.\) Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
-Bước 1: Với \(n = 4\) thì vế trái bằng \({2^{4 + 1}} = {2^5} = 32,\) còn vế phải bằng \({4^2} + 3.4 = 28.\)
Do \(32 > 28\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = 4.\)
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k \ge 4,\) nghĩa là \({2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.\)
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1,\) tức là phải chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) + 1}} > {\left( {k + 1} \right)^2} + 3\left( {k + 1} \right)\) hay \({2^{k + 2}} > {k^2} + 5k + 4.\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có \({2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.\)
Suy ra \({2.2^{k + 1}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right)\) hay \({2^{k + 2}} > 2{k^2} + 6k\)
Mặt khác \(2{k^2} + 6k - \left( {{k^2} + 5k + 4} \right) = {k^2} + k - 4 \ge {4^2} + 4 - 4 = 16\) với mọi \(k \ge 4.\)
Do đó \({2^{k + 2}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right) > {k^2} + 5k + 4\) hay bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\), ta có: \(\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{an + 2}}{{bn }}\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\).
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: \(1 - \dfrac{1}{{{k^2}}} = \dfrac{{k - 1}}{k}.\dfrac{{k + 1}}{k}\). Suy ra \(\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{3}...\dfrac{{n - 1}}{n}.\dfrac{{n + 1}}{{n}} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{{2n + 2}}{{4n}}\).
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: \(a = 2,b = 4\).
Suy ra \(P = {a^2} + {b^2} = 20\).
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).
- Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = p\) chứ không phải \(n = 1\).
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) với \(k \ge p\).
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
\( \bullet \) Bước 1, kiểm tra mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p.\)
\( \bullet \) Bước 2, giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1.\)
Trong hai bước trên:
Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).
- Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.
Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
Phương pháp quy nạo toán học:
- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\).
- Bước 2: Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 2\).
Một học sinh chứng minh mệnh đề ${\rm{''}}{8^n} + 1$ chia hết cho ${\rm{7, }}\forall n \in {\mathbb{N}^*}''$ \(\left( * \right)\) như sau:
\( \bullet \) Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), tức là ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7.\)
\( \bullet \) Ta có: ${8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7$, kết hợp với giả thiết ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7\) nên suy ra được ${8^{k + 1}} + 1$ chia hết cho \(7.\) Vậy đẳng thức \(\left( * \right)\) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Quan sát lời giải trên ta thấy:
Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra \(n = 1\) thì \({8^1} + 1 = 9\) không chia hết cho \(7\) nên mệnh đề đó sai.
Với \(n \in {N^*}\), ta xét các mệnh đề: $P:$“\({7^n} + 5\) chia hết cho $2$”; $Q:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $3$” và $R:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $6$”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho $6$.
Thật vậy, với $n = 1$ ta có: \({7^1} + 5 = 12\,\, \vdots \,\,6\)
Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là \({7^k} + 5\) chia hết cho $6$, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh \({7^{k + 1}} + 5\) chia hết cho $6$.
Ta có: \({7^{k + 1}} + 5 = 7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\)
Theo giả thiết quy nạp ta có \({7^k} + 5\) chia hết cho $6$, và $30$ chia hết cho $6$ nên \(7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) cũng chia hết cho $6$.
Do đó mệnh đề đúng với $n = k + 1$.
Vậy \({7^n} + 5\) chi hết cho $6$ với mọi \(n \in N^*\).
Mọi số chia hết cho $6$ đều chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$.
Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.
Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:
Với $n = 0$ ta có: $S = 1$
Với $n = 1$ ta có $S = 1 – 2 + 3 = 2$
Với $n = 2$ ta có $S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3$
Dự đoán $S = n + 1 (*)$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng bằng quy nạp.
Với $n = 0$ đương nhiên $(*)$ đúng.
Giả sử $(*)$ đúng với $n = k$, tức là \({S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1\), ta chứng minh $(*)$ đúng với $n =k+1$.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, tức là $S = n + 1$.
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng \({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\) là:
Với $n = 1$ ta có: \({S_1} = 1.2 = 2\), do đó đáp án A, C sai.
Ta chứng minh \({S_n} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\,\,\left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k \ge 1)$, tức là \({S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3},\) ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3},\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3}.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Kí hiệu \(k! = k\left( {k - 1} \right)...2.1,\forall k \in {\mathbb{N}^*}\). Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), đặt \({S_n} = 1.1! + 2.2! + ... + n.n!\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của \(n\).
Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1.1! = 1\) (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa \(n \ge 3\) thì:
Với $n = 3$ ta loại được đáp án A, B và C.
Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức \({2^n} > 2n + 1\) đúng với $n = 3$ vì $8 > 7$.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến \(n = k \ge 3\), tức là \({2^k} > 2k + 1\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({2^{k + 1}} > 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3.\)
Ta có: \({2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2\left( {2k + 1} \right) = 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1.\) Vì \(k \ge 4 \Rightarrow 2k - 1 \ge 7 > 0 \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2k + 3\)
Do đó bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$.
Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3.\)
Giả sử $Q$ là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
a) \(k \in Q\)
b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)
Đáp án A: sai vì \(Q \subset {N^*}\) chứ không phải \({N^*} \subset Q\), nên mọi số nguyên dương không thể thuộc \(Q\) hết được.
Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.
Đáp án C: sai vì theo giả thiết \(b)\) thì phải là số tự nhiên lớn hơn \(k\) thuộc \(Q\).
Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc \(Q\).
