Phương pháp quy nạp toán học

Với n = 0 ta có: ${S_0} = 3$ chia hết cho 3, ta chứng minh ${S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3$ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là ${S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3$ chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là ${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3$ cũng chia hết cho 3.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12\\ = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\end{array}$

Có: ${S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3$ chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, $3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3$, do đó ${S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3$

Vậy ${S_n}\,\, \vdots \,\,3$ với mọi số tự nhiên n.

Để chọn được $S$ đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của $n$.

Với $n = 1$ thì $S = 1.4 = 4$ (loại ngay được phương án B và C); với $n = 2$ thì $S = 1.4 + 2.7 = 18$ (loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính $S$ trong các trường hợp $n = 1,S = 4;{\rm{ }}n = 2,S = 18;{\rm{ }}n = 3,S = 48$ ta dự đoán được công thức $S = n{\left( {n + 1} \right)^2}$.

Cách 3: Ta tính $S$ dựa vào các tổng đã biết kết quả như $1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ và ${1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$. Ta có: $S = 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) + \left( {1 + 2 + ... + n} \right) = n{\left( {n + 1} \right)^2}$.

Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của $n$.

Với $n = 1$ thì ${T_1} = {1^2} + {2^2} = 5;{M_1} = {2^2} = 4$ nên $\dfrac{{{T_1}}}{{{M_1}}} = \dfrac{5}{4}$ (loại ngay được các phương án B, C, D).

Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của $n$.

+ Với $n = 1$ thì $S = {1^2} = 1$ (loại được các phương án B và D);

+ Với $n = 2$thì $S = {1^2} + {2^2} = 5$ (loại được phương án A).

Vậy phương án đúng là C.

Dễ thấy $p = 2$ thì bất đẳng thức ${2^p} > 2p + 1$ là sai nên loại ngay phương án D.

Xét với $p = 3$ ta thấy ${2^p} > 2p + 1$ là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng ${2^n} > 2n + 1$ với mọi $n \ge 3$.

Vậy $p = 3$ là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.

Cách 1: Rút gọn biểu thức ${S_n}$ dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

Với mọi số nguyên dương $k$, ta có $\dfrac{1}{{(2k - 1)(2k + 1)}} \\=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{(2k - 1)(2k + 1)}} \\=\dfrac{1}{2}.\dfrac{(2k+1)-(2k-1)}{{(2k - 1)(2k + 1)}} =\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{2k - 1}} - \dfrac{1}{{2k + 1}}} \right)$.

$\dfrac{1}{1.3}=\dfrac{1}{2}\left( 1 - \dfrac{1}{3}\right)$

$\dfrac{1}{{3.5}} =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right)$

Cứ như thế, ta có: $\dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}} \right)$

Do đó:${S_n} = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right) = \dfrac{n}{{2n + 1}}$.

Vậy phương án đúng là phương án C.

Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp $n = 1,2,3,4,$ ta dự đoán được ${2^{n + 1}} > {n^2} + 3n,$ với $n \ge 4.$ Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:

-Bước 1: Với $n = 4$ thì vế trái bằng ${2^{4 + 1}} = {2^5} = 32,$ còn vế phải bằng ${4^2} + 3.4 = 28.$

Do $32 > 28$ nên bất đẳng thức đúng với $n = 4.$

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với $n = k \ge 4,$ nghĩa là ${2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.$

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với $n = k + 1,$ tức là phải chứng minh ${2^{\left( {k + 1} \right) + 1}} > {\left( {k + 1} \right)^2} + 3\left( {k + 1} \right)$ hay ${2^{k + 2}} > {k^2} + 5k + 4.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có ${2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.$

Suy ra ${2.2^{k + 1}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right)$ hay ${2^{k + 2}} > 2{k^2} + 6k$

Mặt khác $2{k^2} + 6k - \left( {{k^2} + 5k + 4} \right) = {k^2} + k - 4 \ge {4^2} + 4 - 4 = 16$ với mọi $k \ge 4.$

Do đó ${2^{k + 2}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right) > {k^2} + 5k + 4$ hay bất đẳng thức đúng với $n = k + 1.$

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Vậy phương án đúng là D.

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: $1 - \dfrac{1}{{{k^2}}} = \dfrac{{k - 1}}{k}.\dfrac{{k + 1}}{k}$. Suy ra $\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $= \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{3}...\dfrac{{n - 1}}{n}.\dfrac{{n + 1}}{{n}} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{{2n + 2}}{{4n}}$.

Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: $a = 2,b = 4$.

Suy ra $P = {a^2} + {b^2} = 20$.

Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$.

Đối với bài toán chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với mọi $n \ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = p$.

- Bước 2: Với $k \ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n = p$ chứ không phải $n = 1$.

Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ với $k \ge p$.

Đối với bài toán chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với mọi $n \ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = p$.

- Bước 2: Với $k \ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.

Phương pháp quy nạo toán học:

- Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = 1$.

- Bước 2: Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n = k + 1$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 2$.

Quan sát lời giải trên ta thấy:

Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra $n = 1$ thì ${8^1} + 1 = 9$ không chia hết cho $7$ nên mệnh đề đó sai.

Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được ${7^n} + 5$ chia hết cho $6$.

Thật vậy, với $n = 1$ ta có: ${7^1} + 5 = 12\,\, \vdots \,\,6$

Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là ${7^k} + 5$ chia hết cho $6$, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh ${7^{k + 1}} + 5$ chia hết cho $6$.

Ta có: ${7^{k + 1}} + 5 = 7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30$

Theo giả thiết quy nạp ta có ${7^k} + 5$ chia hết cho $6$, và $30$ chia hết cho $6$ nên $7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30$ cũng chia hết cho $6$.

Do đó mệnh đề đúng với $n = k + 1$.

Vậy ${7^n} + 5$ chi hết cho $6$ với mọi $n \in N^*$.

Mọi số chia hết cho $6$ đều chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$.

Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.

Với $n = 0$ ta có: $S = 1$

Với $n = 1$ ta có $S = 1 – 2 + 3 = 2$

Với $n = 2$ ta có $S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3$

Dự đoán $S = n + 1 (*)$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng bằng quy nạp.

Với $n = 0$ đương nhiên $(*)$ đúng.

Giả sử $(*)$ đúng với $n = k$, tức là ${S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1$, ta chứng minh $(*)$ đúng với $n =k+1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1.\end{array}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, tức là $S = n + 1$.

Với $n = 1$ ta có: ${S_1} = 1.2 = 2$, do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh ${S_n} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\,\,\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k \ge 1)$, tức là ${S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3},$ ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh ${S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3},$

Ta có: 

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3}.\end{array}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của $n$.

Với $n = 1$ thì ${S_1} = 1.1! = 1$ (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Với $n = 3$ ta loại được đáp án A, B và C.

Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức ${2^n} > 2n + 1$ đúng với $n = 3$ vì $8 > 7$.

Giả sử bất đẳng thức đúng đến $n = k \ge 3$, tức là ${2^k} > 2k + 1$, ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh ${2^{k + 1}} > 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3.$

Ta có: ${2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2\left( {2k + 1} \right) = 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1.$ Vì $k \ge 4 \Rightarrow 2k - 1 \ge 7 > 0 \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2k + 3$

Do đó bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$.

Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3.$

Đáp án A: sai vì $Q \subset {N^*}$ chứ không phải ${N^*} \subset Q$, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc $Q$ hết được.

Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án C: sai vì theo giả thiết $b)$ thì phải là số tự nhiên lớn hơn $k$ thuộc $Q$.

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc $Q$.