Bài tập ôn tập chương 3

Bước 1: Tìm các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100.

Ta có ${u_1} = {10^0} + 1;{u_2} = {10^1} + 2;$${u_3} = {10^2} + 3;$${u_{100}} = {10^{99}} + 100$

Bước 2: Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

$\Rightarrow$ Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

${S_{100}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_{100}}$$= {10^0} + 1 + {10^1} + 2 + {10^2} + 3$$+  \ldots  + {10^{99}} + 100$

$\Leftrightarrow {S_{100}} = \left( {{{10}^0} + {{10}^1} + {{10}^2} +  \ldots  + {{10}^{99}}} \right)$$+ (1 + 2 + 3 +  \ldots  + 100)$

$\Leftrightarrow {S_{100}} = {10^0} \cdot \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{{10 - 1}} + \dfrac{{(1 + 100) \cdot 100}}{2}$$= \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050$

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là ${S_{100}} = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050$.

Ta có ${u_k} = 100006 \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100006$

$\Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100000 + 6$$\Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = {10^5} + 6 \Leftrightarrow k = 6$.

Vậy số hạng ${u_k} = 100006$ là số hạng thứ 6 của dãy.

Bước 1: Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số thỏa mãn: ${u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)$.

Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số thỏa mãn: ${u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)$.

Bước 2: Tìm số hạng tổng quát.

Khi đó, ${u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + n + 1 = 10\left( {{v_n} + n} \right) - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 10{v_n}$

$=>$$\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${v_1} = {u_1} - 1 = 1$ và công bội $q = 10$.

$\Rightarrow {v_n} = {1.10^{n - 1}} = {10^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = {10^{n - 1}} + n$

Số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {10^{n - 1}} + n$.

Ta có ${x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}}$nên ${x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{(n + 1) - 1}}{{(n + 1) + 1}}} \right)^{2(n + 1) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}.$

Giải phương trình $\dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}}$ ta được:

$\dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15\left( {n + 1} \right) = 8\left( {2n + 1} \right) \Leftrightarrow n = 7$

Vậy $n=7$.

Dãy số $({a_n})$ có $a_1=0$, $a_2=-1$ nên không tăng

Với dãy $({b_n})$, ta có ${b_n} = {5^n} + 1$ (do ${( - 1)^{2n}} = 1).$

Vì ${b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n},\forall n \ge 1$nên $({b_n})$ là một dãy số tăng.

Dãy số $({c_n})$ là một dãy số giảm vì ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n},\forall n \ge 1.$

Dãy số $({d_n})$ là một dãy số giảm vì ${d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} < \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = {d_n},\forall n \ge 1.$

Dãy số $({a_n})$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì ${a_1} = 4.$

Dãy số $({b_n})$ có $0 < {b_n} < 1,\forall n \ge 1$ nên dãy số  $({b_n})$ là dãy số bị chặn nên cũng bị chặn trên.

Dãy số $({c_n})$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi ${c_1} = 12.$

Dãy số $({d_n})$ là dãy đan dấu và ${d_{2n}} = {( - 2)^{2n}} = {4^n}$ lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn, còn ${d_{2n + 1}} = {( - 2)^{2n + 1}} =  - {2.4^n}$ nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.

- Trước hết ta kiểm tra phương án với $p$ nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của $({a_n}):$$\begin{array}{l}{a_1} = 1;{a_1} = 2;{a_3} = 2\sqrt 3  - 1;{a_4} = 4 - \sqrt 3 ;{a_5} = 2\sqrt 3  - 2;{a_6} = 2 - \sqrt 3 ;{a_7} =  - 1;\\{a_8} =  - 2;{a_9} = 1 - 2\sqrt 3 ;{a_{10}} = \sqrt 3  - 4.\end{array}$

Dễ dàng thấy ${a_{10}} = \sqrt 3  - 4 \ne 1 = {a_1}$ nên phương án A là sai.

- Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy $({a_n})$ ta được

$\begin{array}{l}({a_n}):{a_1} = 1;{a_1} = 2;{a_3} = 2\sqrt 3  - 1;{a_4} = 4 - \sqrt 3 ;{a_5} = 2\sqrt 3  - 2;{a_6} = 2 - \sqrt 3 ;{a_7} =  - 1;\\{a_8} =  - 2;{a_9} = 1 - 2\sqrt 3 ;{a_{10}} = \sqrt 3  - 4;{a_{11}} = 2 - 2\sqrt 3 ;{a_{12}} = \sqrt 3  - 2;{a_{13}} = 1;{a_{14}} = 2.\end{array}$

Từ đây ta dự đoán được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$ Vậy số nguyên dương cần tìm là $p = 12.$

Hàm số $y = \sin \dfrac{{n\pi }}{2}$ tuần hoàn với chu kì $\dfrac{{2\pi }}{{\pi /2}} = 4$

Hàm số $y = \cos \dfrac{{n\pi }}{3}$ tuần hoàn với chu kì $\dfrac{{2\pi }}{{\pi /3}} = 6$

Do đó ${z_n} = \sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2\cos \dfrac{{n\pi }}{3}$ tuần hoàn với chu kì $T = BCNN\left( {4;6} \right) = 12$ hay ta có ${z_{n + 12}} = {z_n},\forall n \ge 1.$

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là $S = \left\{ {{z_1};{z_2};...;{z_{12}}} \right\} = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;2} \right\}.$

Suy ra $M = 2;m =  - 3.$

Do đó $T = 13.$

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A: Ta có ${u_{m + k}} + {u_{n - k}} = {u_1} + (m + k - 1)d + {u_1} + (n - k - 1)d$

$= {u_1} + (m - 1)d + {u_1} + (n - 1)d = {u_m} + {u_n}$.

Do đó A là phương án đúng.

+ Phương án B: Ta có ${u_{m + k}} + {u_{m - k}} = {u_1} + (m + k - 1)d + {u_1} + (m - k - 1)d$

$= 2\left[ {{u_1} + (m - 1)d} \right] = 2{u_m}$.

Do đó B là phương án đúng.

+ Phương án C: Ta có ${u_m} = {u_1} + (m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d + (m - k)d = {u_k} + (m - k)d$

Do đó C là phương án đúng.

+ Phương án D: Ta có ${u_{2n}} + {u_{n + 1}} = {u_1} + (2n - 1)d + {u_1} + nd = {u_1} + (3n - 1)d + {u_1} = {u_{3n}} + {u_1}$

Vậy phương án D sai.

Đặt $a = {u_1}$ thì $u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {a + d} \right)^2} + {\left( {a + 2d} \right)^2} + {\left( {a + 3d} \right)^2} = 3{a^2} - 36a + 126 = 3{\left( {a - 6} \right)^2} + 18 \ge 18$ với mọi $a$.

Dấu bằng xảy ra khi $a - 6 = 0 \Leftrightarrow a = 6$. Suy ra ${u_1} = 6$.

Ta có ${S_{100}} = \dfrac{{100.\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right]}}{2} =  - 14250$

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là $- 8,\;28,\; - 80.$

Ba số này không lập thành cấp số nhân vì $\dfrac{{28}}{{ - 8}} \ne \dfrac{{ - 80}}{{28}}.$

- Phương án B: Ta có  ${b_{n + 1}} = \dfrac{{4035}}{{2018}}{b_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên $\left( {{b_n}} \right)$ là cấp số nhân

- Phương án C: Ta có $\dfrac{{{c_{n + 1}}}}{{{c_n}}} = \dfrac{{25\left( {n + 1} \right)}}{n}$ (phụ thuộc vào n, không phải là không đổi)

Do đó $({c_n})$ không phải là cấp số nhân.

- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ là $3,9,81$. Nhận thấy ba số này không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

Theo giả thiết, ta có: $\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = \dfrac{2}{{y + z}} \Rightarrow \left( {y + z} \right)\left( {2x + y + z} \right) = 2\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) \Leftrightarrow {y^2} + {z^2} = 2{x^2}$.

Suy ra ${y^2},{x^2},{z^2}$ hoặc ${z^2},{x^2},{y^2}$ lập thành một cấp số cộng.

Ta có ${u_1} = {S_1} = 1$ và ${u_1} + {u_2} = {S_2} = 8$. Suy ra ${u_2} = 7$

Vậy $d = {u_2} - {u_1} = 6$.

Cấp số cộng $1,7,13, \ldots ,x$ có số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d = 6$ nên:

${S_n} = 1 + 7 + ... + x = \dfrac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).6} \right]}}{2} = 280$ $\Leftrightarrow 3{n^2} - 2n = 280 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\left( {t/m} \right)\\n =  - \dfrac{{28}}{3}\left( l \right)\end{array} \right.$

Vậy $x = {u_{10}} = {u_1} + 9d = 1 + 9.6 = 55$

Ta có:

- Phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng thì ${9.10^2} = 100.1.m \Leftrightarrow m = 9$.

- Với $m = 9$ thì phương trình đã cho trở thành ${x^4} - 10{x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1;x =  \pm 3$.

Bốn số $- 3; - 1;1;3$ lập thành một cấp số cộng nên $m = 9$ là giá trị cần tìm.

Giả sử trồng được $n$ hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là $S = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$.

Theo giả thiết ta có $\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 3003 \Leftrightarrow n = 77$.

Ta có: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{4} = \dfrac{1}{4}.{u_n}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = \dfrac{1}{4}.$

Suy ra số hạng tổng quát là ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 3.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{n - 1}} = {3.4^{1 - n}}.$

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

${y^2} = 12.192 = 2304$ $\Rightarrow y =  \pm 48.$

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

$xy = {12^2} = 144.$

Với $y = 48$ thì $x = 3;$ với $y =  - 48$ thì $x =  - 3.$

Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.

+ Phương án $A:$ Các góc ${5^0},{15^0},{45^0},{225^0}$ không lập thành cấp số nhân vì

${15^0} = {3.5^0};$ ${45^0} = {3.15^0};$ ${225^0} \ne {3.45^0}.$

+ Phương án $B:$ Các góc ${9^0},{27^0},{81^0},{243^0}$ lập thành cấp số nhân và ${9^0} + {27^0} + {81^0} + {243^0} = {360^0}.$ Hơn nữa, ${9^0} = \dfrac{1}{9}{81^0}$ nên $B$ là phương án đúng.

+ Phương án $C$ và $D:$ Kiểm tra như phương án $A.$