Cấp số cộng

Bước 1: Tìm tổng số góc của đa giác 10 cạnh.

Đa giác lồi có 10 cạnh \( \Rightarrow \) Đa giác có 10 góc

=>Tổng các góc là \((10 - 2) \cdot {180^0} = {1440^0}.\)

Bước 2: Tìm góc trong nhỏ nhất

Theo bài ra, ta có các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai \(d = {4^0}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = {4^0}}\\{{S_{10}} = {{1440}^0 }}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = {4^0}}\\{\dfrac{{10.\left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = {{1440}^0}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = {{126}^0}}\\{d = {4^0}}\end{array}} \right.\).

Vậy góc trong nhỏ nhất là \({126^0}\)

Bước 1: Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng. Tìm công sai và số hạng đầu tiên.

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.

Khi đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_7} = 27}\\{{u_{20}} = 79}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 6d = 27}\\{{u_1} + 19d = 79}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{d = 4}\end{array}} \right.\).

Bước 2: Tính \({S_{30}}\)

Do đó \({S_{30}} = 30{u_1} + \dfrac{{30.29.d}}{2}\)\( = 30.3 + \dfrac{{30.29.4}}{2} = 1830\).

Ta có \({u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4 - 1 = 3\).

\({u_2} = {u_1} + d = 7 + 4 = 11.\)

Xét đáp án A: $\;1; - 3; - 7; - 11; - 15$$ \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} =  - 4 \Rightarrow $ Chọn A.

Xét đáp án B: $1; - 3; - 6; - 9; - 12$$ \Rightarrow {u_2} - {u_1} =  - 4\not  =  - 3 = {u_3} - {u_2} \Rightarrow $ loại B.

Xét đáp án C: $1; - 2; - 4; - 6; - 8$$ \Rightarrow {u_2} - {u_1} =  - 3\not  =  - 2 = {u_3} - {u_2} \Rightarrow $ loại C.

Xét đáp án D: $1; - 3; - 5; - 7; - 9$$ \Rightarrow {u_2} - {u_1} =  - 4\not  =  - 2 = {u_3} - {u_2} \Rightarrow $ loại D.

Ta có $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_2} - {u_1} =  - \dfrac{1}{2} = d\end{array} \right.\)

Đáp án A: \({u_n} = 7 - 3n =  - 3n + 7\) nên là cấp số cộng có \({u_1} = 4,d =  - 3\).

Từ định nghĩa cấp số cộng thì ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: \({u_{m + 1}} - {u_m}\not  = {u_{k + 1}} - {u_k}\) thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án A: \( - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3};0;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};1;\dfrac{4}{3}\)\( \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = \dfrac{1}{3}\). Loại A.

Xét đáp án B: \(15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2  \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} =  - 3\sqrt 2 \). Loại B.

Xét đáp án C: \(\dfrac{4}{5};1;\dfrac{7}{5};\dfrac{9}{5};\dfrac{{11}}{5} \Rightarrow \dfrac{1}{5} = {u_2} - {u_1}\not  = {u_3} - {u_2} = \dfrac{2}{5}\). Chọn C.

Xét đáp án D: \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3};\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\). Loại D.

Dãy số \({u_n} =  - {2^n} + 15\) không có dạng \(an + b\) nên có không phải là cấp số cộng.

Các số \(5;\,{\rm{ }}9;{\rm{ }}\,13;\,{\rm{ }}17;{\rm{ }} \cdots \)theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = {u_2} - {u_1} = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + 4\left( {n - 1} \right) = 4n + 1\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 3\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 3 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\)  

\({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\)\( \Rightarrow {S_{100}} = 100{u_1} + \dfrac{{100.99}}{2}d =  - 24350\)

Cấp số cộng \({u_n} = an + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = a + b\\d = a\end{array} \right..\)

\({u_n} = 3n + 4 \to \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 7\\d = 3\end{array} \right.\)\( \to {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) \( = 7n + \dfrac{{3\left( {{n^2} - n} \right)}}{2} = \dfrac{{3{n^2} + 11n}}{2}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}15 = {u_3} = {u_1} + 2d\\d =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 19\\d =  - 2\end{array} \right.\) \( \to {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 2n + 21\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 5\\d = 3\end{array} \right. \Rightarrow 100 = {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 3n - 8 \Leftrightarrow n = 36\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 5\\d = 3\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = 3n - 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{15}} = 37\\{u_{13}} = 31\\{u_{10}} = 22\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\40 = {u_8} = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow d = 5\)

Vì các số \( - 4;\,\,1;\,\,6;\,\,x\)theo thứ tự \({u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3},\,\,{u_4}\) lập thành cấp số cộng nên

\({u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}\)\( \Rightarrow x - 6 = 6 - 1 \Leftrightarrow x = 11\)

Ba số \(C_n^1;{\rm{ }}C_n^2;{\rm{ }}C_n^3\) theo thứ tự \({u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}\) lập thành cấp số cộng nên

\({u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2\,\,\left( {n \ge 3} \right)\)\( \Leftrightarrow n + \dfrac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{6} = 2.\dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{{n^2} - 3n + 2}}{6} = n - 1\) \( \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 14 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\n = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 7\,\left( {n \ge 3} \right)\)