Cấp số cộng

Bước 1: Tìm tổng số góc của đa giác 10 cạnh.

Đa giác lồi có 10 cạnh $\Rightarrow$ Đa giác có 10 góc

=>Tổng các góc là $(10 - 2) \cdot {180^0} = {1440^0}.$

Bước 2: Tìm góc trong nhỏ nhất

Theo bài ra, ta có các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai $d = {4^0}$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = {4^0}}\\{{S_{10}} = {{1440}^0 }}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = {4^0}}\\{\dfrac{{10.\left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = {{1440}^0}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = {{126}^0}}\\{d = {4^0}}\end{array}} \right.$.

Vậy góc trong nhỏ nhất là ${126^0}$

Bước 1: Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Tìm công sai và số hạng đầu tiên.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.

Khi đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_7} = 27}\\{{u_{20}} = 79}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 6d = 27}\\{{u_1} + 19d = 79}\end{array}} \right.} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{d = 4}\end{array}} \right.$.

Bước 2: Tính ${S_{30}}$

Do đó ${S_{30}} = 30{u_1} + \dfrac{{30.29.d}}{2}$$= 30.3 + \dfrac{{30.29.4}}{2} = 1830$.

Ta có ${u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4 - 1 = 3$.

${u_2} = {u_1} + d = 7 + 4 = 11.$

Xét đáp án A: $\;1; - 3; - 7; - 11; - 15$$\Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} =  - 4 \Rightarrow$ Chọn A.

Xét đáp án B: $1; - 3; - 6; - 9; - 12$$\Rightarrow {u_2} - {u_1} =  - 4\not  =  - 3 = {u_3} - {u_2} \Rightarrow$ loại B.

Xét đáp án C: $1; - 2; - 4; - 6; - 8$$\Rightarrow {u_2} - {u_1} =  - 3\not  =  - 2 = {u_3} - {u_2} \Rightarrow$ loại C.

Xét đáp án D: $1; - 3; - 5; - 7; - 9$$\Rightarrow {u_2} - {u_1} =  - 4\not  =  - 2 = {u_3} - {u_2} \Rightarrow$ loại D.

Ta có $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_2} - {u_1} =  - \dfrac{1}{2} = d\end{array} \right.$

Đáp án A: ${u_n} = 7 - 3n =  - 3n + 7$ nên là cấp số cộng có ${u_1} = 4,d =  - 3$.

Từ định nghĩa cấp số cộng thì ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: ${u_{m + 1}} - {u_m}\not  = {u_{k + 1}} - {u_k}$ thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án A: $- \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3};0;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};1;\dfrac{4}{3}$$\Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = \dfrac{1}{3}$. Loại A.

Xét đáp án B: $15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2  \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} =  - 3\sqrt 2$. Loại B.

Xét đáp án C: $\dfrac{4}{5};1;\dfrac{7}{5};\dfrac{9}{5};\dfrac{{11}}{5} \Rightarrow \dfrac{1}{5} = {u_2} - {u_1}\not  = {u_3} - {u_2} = \dfrac{2}{5}$. Chọn C.

Xét đáp án D: $\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3};\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}$$\Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$. Loại D.

Dãy số ${u_n} =  - {2^n} + 15$ không có dạng $an + b$ nên có không phải là cấp số cộng.

Các số $5;\,{\rm{ }}9;{\rm{ }}\,13;\,{\rm{ }}17;{\rm{ }} \cdots$theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = {u_2} - {u_1} = 4\end{array} \right.$$\Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + 4\left( {n - 1} \right) = 4n + 1$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 3\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 3 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} \right)$  

${S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d$$\Rightarrow {S_{100}} = 100{u_1} + \dfrac{{100.99}}{2}d =  - 24350$

Cấp số cộng ${u_n} = an + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = a + b\\d = a\end{array} \right..$

${u_n} = 3n + 4 \to \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 7\\d = 3\end{array} \right.$$\to {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d$ $= 7n + \dfrac{{3\left( {{n^2} - n} \right)}}{2} = \dfrac{{3{n^2} + 11n}}{2}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}15 = {u_3} = {u_1} + 2d\\d =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 19\\d =  - 2\end{array} \right.$ $\to {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 2n + 21$

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 5\\d = 3\end{array} \right. \Rightarrow 100 = {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 3n - 8 \Leftrightarrow n = 36$

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 5\\d = 3\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = 3n - 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{15}} = 37\\{u_{13}} = 31\\{u_{10}} = 22\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\40 = {u_8} = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow d = 5$

Vì các số $- 4;\,\,1;\,\,6;\,\,x$theo thứ tự ${u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3},\,\,{u_4}$ lập thành cấp số cộng nên

${u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}$$\Rightarrow x - 6 = 6 - 1 \Leftrightarrow x = 11$

Ba số $C_n^1;{\rm{ }}C_n^2;{\rm{ }}C_n^3$ theo thứ tự ${u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}$ lập thành cấp số cộng nên

${u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2\,\,\left( {n \ge 3} \right)$$\Leftrightarrow n + \dfrac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{6} = 2.\dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}$

$\Leftrightarrow 1 + \dfrac{{{n^2} - 3n + 2}}{6} = n - 1$ $\Leftrightarrow {n^2} - 9n + 14 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\n = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 7\,\left( {n \ge 3} \right)$