Cấp số cộng

Ba số \(5 + m;{\rm{ }}7 + 2m;{\rm{ }}17 + m\) theo thứ tự \({u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}\) lập thành cấp số cộng nên

\({u_1} + {u_3} = 2{u_2}\)\( \Leftrightarrow \left( {5 + m} \right) + \left( {17 + m} \right) = 2\left( {7 + 2m} \right) \Leftrightarrow m = 4\)

Bốn số \( - 7;\,{\rm{ }}x;\,{\rm{ }}11;{\rm{ }}\,y\) theo thứ tự \({u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3},\,\,{u_4}\) lập thành cấp số cộng nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}\\{u_4} - {u_3} = {u_2} - {u_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 11 = 11 - x\\y - 11 = x + 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 22\\x - y =  - 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 20\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} - 12 = {u_4} = {u_1} + 3d\\18 = {u_{14}} = {u_1} + 13d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 21\\d = 3\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2001 = {u_2} = {u_1} + d\\1995 = {u_5} = {u_1} + 4d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2003\\d =  - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {u_{1001}} = {u_1} + 1000d = 3\)

$\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6d} \right) - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 8\\\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75\end{array} \right.$

Ta có \({u_4} = {u_1} + 3d = 2 + 3.5 = 17\)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_1} = d\\{u_3} - {u_2} = d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_1}}} =  - \dfrac{d}{{{u_1}{u_2}}}\\\dfrac{1}{{{u_3}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}} =  - \dfrac{d}{{{u_2}{u_3}}}\end{array} \right..$

Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có $\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_1}}} = \dfrac{1}{{{u_3}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}}$

Ta có \(c + a = 2b \Rightarrow  - 2\left( {c + a} \right) =  - 2\left( {2b} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( { - 2c} \right) + \left( { - 2a} \right) = 2\left( { - 2b} \right)\)

Theo giả thiết ta có \(\dfrac{2}{{c + a}} = \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{c + a}}{2} = \dfrac{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}}{{2b + a + c}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + 2b\left( {c + a} \right) = 2\left( {{b^2} + ab + bc + ac} \right)\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} + 2ac + 2bc + 2bc = 2\left( {{b^2} + ab + bc + ac} \right)\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}\)

Giữa \(2\) và \(22\) có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có 5 số hạng với \({u_1} = 2;\,\,{u_5} = 22;\)ta cần tìm \({u_2},\,\,{u_3},\,\,{u_4}.\)

Ta có \({u_5} = {u_1} + 4d\)\( \Leftrightarrow d = \dfrac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \dfrac{{22 - 2}}{4} = 5\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d = 7\\{u_3} = {u_1} + 2d = 12\\{u_4} = {u_1} + 3d = 17\end{array} \right.\)

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có \(n + 2\) số hạng với \({u_1} =  - 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23.\)

Khi đó \({u_{n + 2}} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\) \( \Leftrightarrow n + 1 = \dfrac{{{u_{n + 2}} - {u_1}}}{d} = \dfrac{{23 - \left( { - 3} \right)}}{2} = 13\) \( \Leftrightarrow n = 12\)

\(\left\{ \begin{array}{l}d =  - 2\\72 = {S_8} = 8{u_1} + \dfrac{{8.7}}{2}d\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 72 = 8{u_1} + 28.\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow {u_1} = 16\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,\,\,d = 4\\561 = {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 561 = n + \dfrac{{{n^2} - n}}{2}.4\) \( \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 561 = 0 \Leftrightarrow n = 17\)

\({u_n} = {u_{17}} = {u_1} + 16d = 1 + 16.4 = 65\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_{12}} = 23\\{S_{12}} = 144\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 11d = 23\\\dfrac{{12}}{2}\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right) = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{{23 - {u_1}}}{{11}} = 2\end{array} \right.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 27\\u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 2d} \right)^2} = 275\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + d = 9}&{\left( 1 \right)}\\{u_1^2 + {{\left( {{u_1} + d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 2d} \right)}^2} = 275}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right..\)

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(d = 9 - {u_1}\). Thay vào \(\left( 2 \right)\), ta được

\(u_1^2 + {\left( {{u_1} + 9 - {u_1}} \right)^2} + {\left[ {{u_1} + 2\left( {9 - {u_1}} \right)} \right]^2} = 275\)\( \Leftrightarrow u_1^2 - 18{u_1} + 65 = 0\) \( \Leftrightarrow {u_1} = 13\) hoặc \({u_1} = 5\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13\\d =  - 4\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = 4\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = {u_1} + d = 9\)

\({u_2} + {u_{23}} = 60\)\( \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 22d} \right) = 60\)\( \Leftrightarrow 2{u_1} + 23d = 60\)  

Khi đó \({S_{24}} = \dfrac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right) = 12\left( {{u_1} + \left( {{u_1} + 23d} \right)} \right)\)\( = 12\left( {2{u_1} + 23d} \right) = 12.60 = 720\)  

Ba cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\,\,\left( {a < b < c} \right)\) của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa yêu cầu thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + b + c = 3\\a + c = 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\3b = 3\\a + c = 2b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\b = 1\\a = 2b - c = 2 - c\end{array} \right.\)

Ta có \({a^2} + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {\left( {2 - c} \right)^2} + 1 = {c^2}\) \( \Leftrightarrow  - 4c + 5 = 0 \Leftrightarrow c = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{4}\\b = 1\\c = \dfrac{5}{4}\end{array} \right..\)

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1,\,\,d = 1.\)

Giả sử có \(n\) hàng cây thì \({u_1} + {u_2} +  \cdots  + {u_n} = 3003 = {S_n}.\)

Ta có \(3003 = {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0 \Leftrightarrow n = 77\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_7} = 26\\{u_2}^2 + {u_6}^2 = 466\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 6d = 26\\{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 5d} \right)^2} = 466\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13 - 3d\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 5d} \right)^2} = 466\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Thay (1) và (2) ta được: \({\left( {13 - 2d} \right)^2} + {\left( {13 + 2d} \right)^2} = 466 \Leftrightarrow 8{d^2} + 338 = 466\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 4 \Rightarrow {u_1} = 1\\d =  - 4 \Rightarrow {u_1} = 25\end{array} \right.\)

Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 80\,000,\,\,d = 5\,000.\)

Do cần khoan 50 mét nên tổng số tiền cần trả là

\({u_1} + {u_2} +  \cdots  + {u_{50}} = {S_{50}} = 50{u_1} + \dfrac{{50.49}}{2}d\) \( = 50.80\,000 + 1225.5\,000 = 10\,125\,000\)