Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\). Khẳng định nào sa u đây đúng?
Cách 1:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\BC \bot AH\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).
Mà \(SH \subset \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).
Cách 2: Do \(BC \subset \left( {ABC} \right),\)\(BC \bot AH\) mà AH là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (ABC)
=> BC vuông góc với SH.
Biết tổng khối lượng của các cạnh và 9 bóng đèn là \(5\;{\rm{kg}}\), bỏ qua khối lượng của các dây \(AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AD\). Tính lực căng trên dây \(AB\).
Ta gọi lực căng dây AB là \(T\), trọng lực tác động lên các cạnh của và 9 bóng đèn là P
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \dfrac{{\sqrt {73} }}{{11}}\\T = \dfrac{P}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{5.9,8}}{{\dfrac{{\sqrt {73} }}{{11}}}} \approx 63,1\left( N \right)\end{array}\)
Tính góc giữa hai đường thẳng \(SA\)và \(AB\).
Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\), khi đó S,A,H thẳng hàng.
Gọi góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(AB\) là \(\alpha \).
H là trọng tâm \(\Delta BCD\)
\( \Rightarrow BH = \dfrac{{68\sqrt 3 }}{3}(cm)\)
\(\sin \alpha = \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{62\sqrt 3 /3}}{{44}} = \dfrac{{12\sqrt 3 }}{{33}} \Rightarrow \alpha = 63,{16^o}\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB \bot BC\). Dựng \(AH\) là đường cao của \(\Delta SAB\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AH\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên B đúng.
Do \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên nó không thể vuông góc với \(\left( {SCD} \right)\) nên C sai.
A sai vì \(\widehat {ASD} < {90^0}\).
D sai vì \(CD\) chưa chắc vuông góc với \(BC\).
Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Dựng đường cao \(AH\) của tam giác $SAB$. Chọn khẳng định không đúng.
Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$.
Do đó $\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$
Lại có $\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot SC$ nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó các đáp án B, C, D đều đúng.
Cho tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) đều là các tam giác cân đáy \(BC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD\).
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ và độ dài các cạnh bên $SA = SB = SC = 2$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Độ dài đoạn thẳng $SG$ bằng
Vì $SA = SB = SC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Suy ra $G$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $BM = CM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{1}{2}.$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a,$ có $GM = \dfrac{{AM}}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}.$
Tam giác $SBM$ vuông tại $M,$ có $SM = \sqrt {S{B^2} - M{B^2}} = \sqrt {{2^2} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}$
Tam giác $SGM$ vuông tại $G,$ có $SG = \sqrt {S{M^2} - G{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{15}}{4} - \dfrac{1}{{12}}} = \dfrac{{\sqrt {33} }}{3}.$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(AE;AF\) lần lượt là các đường cao của tam giác \(SAB\) và tam giác $SAD$. Gọi \(M\) là giao điểm của \(SC\) với \(\left( {AEF} \right)\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.\)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\left( 1 \right)\) suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\).
Tương tự : \(AF \bot SC\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AEF} \right).\)
Mà \(AM \subset \left( {AEF} \right)\) nên \(AM \bot SC\).
Do đó các đáp án A, B, D đều đúng.
Đáp án C sai vì \(AF \bot \left( {SCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Biết \(HK \bot \left( {ABC} \right)\), khẳng định nào sau đây sai?
Ta có: \(HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow HK \bot CH\) hay A đúng.
Do \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) nên \(CH \bot AB\).
Mà \(HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\).
Do đó \(CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot AK\) hay C đúng.
Ngoài ra \(HK \bot AB\), mà \(AB \bot CH\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)\) hay B đúng.
D sai vì \(BC\) không vuông góc với \(AC\) nên không có \(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA = OB = OC = 3\) và đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(mp(ABC)\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
Ta có \(OA \bot (OBC) \Rightarrow OA \bot BC\), mà \(OH \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot (OAH) \Rightarrow BC \bot AH\).
Tương tự, ta có \(AB \bot CH\), suy ra đáp án A đúng.
Gọi \(I = AH \cap BC\)
Ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} \Rightarrow O{H^2} = 3 \Leftrightarrow OH = \sqrt 3 \), suy ra đáp án C đúng.
Ngoài ra các tam giác \(OAB,OBC,OAC\) bằng nhau nên \(AB = BC = CA\) hay tam giác \(ABC\) đều, từ đó \(H\) là trực tâm của tam giác nên B đúng.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(mp(BCD)\). Chọn khẳng định đúng :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot BH\). Tương tự \(BD \bot CH\)
Suy ra \(H\) là trực tâm \(\Delta BCD\). Suy ra đáp án A, B, D sai.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AD\), suy ra C đúng.
\( \to \) Chọn đáp án C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB \bot BC\). Dựng \(AH\) là đường cao của \(\Delta SAB\). Khẳng định nào sau đây sai?
Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot CD\) hay A đúng.
Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AH\) nên B đúng.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\) nên D đúng.
Do \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên nó không thể vuông góc với \(\left( {SCD} \right)\) nên C sai.
Cho tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $SAB$, thì khẳng định nào sau đây đúng nhất.
Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$.
Do đó $\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$
Vậy $\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot SC$.
Cho tứ diện $ABCD$ có \(AB = AC\) và \(DB = DC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\) và \(AB \bot BC.\) Số các mặt của tứ diện \(S.ABC\) là tam giác vuông là:
Có \(AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(B.\)
Ta có \(SA \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB,\Delta SAC\) là các tam giác vuông tại \(A.\)
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) là tam giác vuông tại \(B.\)
Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và độ dài các cạnh bên \(SA = SB = SC = b.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Độ dài đoạn thẳng \(SG\) bằng
Vì \(SA = SB = SC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Suy ra \(G\) là chân đường cao kẻ từ đỉnh \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(BM = CM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}.\)
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a,\) có \(GM = \dfrac{{AM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
Tam giác \(SBM\) vuông tại \(M,\) có \(SM = \sqrt {S{B^2} - M{B^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} .\)
Tam giác \(SGM\) vuông tại \(G,\) có \(SG = \sqrt {S{M^2} - G{M^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} = \dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(AE;AF\) lần lượt là các đường cao của tam giác \(SAB\) và tam giác $SAD$. Gọi \(M\) là giao điểm của \(SC\) với \( (AEF) \). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.\)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\left( 1 \right)\)
Tương tự : \(AF \bot SC\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AEF} \right).\)
Mà \(AM \subset \left( {AEF} \right)\) nên \(AM \bot SC\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Khẳng định nào sau đây sai?
Do \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) nên \(CH \bot AB\).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\).
Do đó \(CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot HK,CH \bot AK\) hay A, C đúng.
Ngoài ra \(HK//SA,SA \bot AB \Rightarrow HK \bot AB\), mà \(AB \bot CH\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)\) hay B đúng.
D sai vì \(BC\) không vuông góc với \(AC\) nên không có \(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(mp(ABC)\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
Ta có \(OA \bot (OBC) \Rightarrow OA \bot BC,\) mà \(OH \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot (OAH) \Rightarrow BC \bot AH\).
Tương tự, ta có \(AB \bot CH\), suy ra đáp án A, D đúng.
Ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)
với \(I = AH \cap BC\), suy ra đáp án C đúng.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(mp(BCD)\). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot BH\). Tương tự \(BD \bot CH\)
Suy ra \(H\) là trực tâm \(\Delta BCD\). Suy ra đáp án A, B đúng.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AD\), suy ra C đúng.
