Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cách 1:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\BC \bot AH\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)$.

Mà $SH \subset \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH$.

Cách 2: Do $BC \subset \left( {ABC} \right),$$BC \bot AH$ mà AH là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (ABC)

=> BC vuông góc với SH.

Ta gọi lực căng dây AB là $T$, trọng lực tác động lên các cạnh của  và 9 bóng đèn là P

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \dfrac{{\sqrt {73} }}{{11}}\\T = \dfrac{P}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{5.9,8}}{{\dfrac{{\sqrt {73} }}{{11}}}} \approx 63,1\left( N \right)\end{array}$

Kẻ $AH \bot \left( {BCD} \right)$, khi đó S,A,H thẳng hàng.

Gọi góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $AB$ là $\alpha$.

H là trọng tâm $\Delta BCD$

$\Rightarrow BH = \dfrac{{68\sqrt 3 }}{3}(cm)$

$\sin \alpha  = \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{62\sqrt 3 /3}}{{44}} = \dfrac{{12\sqrt 3 }}{{33}} \Rightarrow \alpha  = 63,{16^o}$

Do $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $\Rightarrow BC \bot AH$.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$ nên B đúng.

Do $AH \bot \left( {SBC} \right)$ nên nó không thể vuông góc với $\left( {SCD} \right)$ nên C sai.

A sai vì $\widehat {ASD} < {90^0}$.

D sai vì $CD$ chưa chắc vuông góc với $BC$.

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$.

Do đó $\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$

Lại có  $\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot SC$ nên $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó các đáp án B, C, D đều đúng.

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD$.

Vì $SA = SB = SC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Suy ra $G$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $BM = CM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{1}{2}.$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a,$ có $GM = \dfrac{{AM}}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}.$

Tam giác $SBM$ vuông tại $M,$ có $SM = \sqrt {S{B^2} - M{B^2}}  = \sqrt {{2^2} - \dfrac{1}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}$

Tam giác $SGM$ vuông tại $G,$ có $SG = \sqrt {S{M^2} - G{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{15}}{4} - \dfrac{1}{{12}}}  = \dfrac{{\sqrt {33} }}{3}.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.$

Vậy: $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\left( 1 \right)$ suy ra $AE \bot \left( {SBC} \right)$.

Tương tự : $AF \bot SC\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AEF} \right).$

Mà $AM \subset \left( {AEF} \right)$ nên $AM \bot SC$.

Do đó các đáp án A, B, D đều đúng.

Đáp án C sai vì $AF \bot \left( {SCD} \right)$.

Ta có: $HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow HK \bot CH$ hay A đúng.

Do $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $CH \bot AB$.

Mà $HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH$.

Do đó $CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot AK$ hay C đúng.

Ngoài ra $HK \bot AB$, mà $AB \bot CH$ $\Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)$ hay B đúng.

D sai vì $BC$ không vuông góc với $AC$ nên không có $BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Ta có $OA \bot (OBC) \Rightarrow OA \bot BC$, mà $OH \bot BC$ $\Rightarrow BC \bot (OAH) \Rightarrow BC \bot AH$.

Tương tự, ta có $AB \bot CH$, suy ra đáp án A đúng.

Gọi $I = AH \cap BC$

Ta có $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} \Rightarrow O{H^2} = 3 \Leftrightarrow OH = \sqrt 3$, suy ra đáp án C đúng.

Ngoài ra các tam giác $OAB,OBC,OAC$ bằng nhau nên $AB = BC = CA$ hay tam giác $ABC$ đều, từ đó $H$ là trực tâm của tam giác nên B đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot BH$. Tương tự $BD \bot CH$

Suy ra $H$ là trực tâm $\Delta BCD$. Suy ra đáp án A, B, D sai.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AD$, suy ra C đúng.

$\to$ Chọn đáp án C.

Do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot CD$ hay A đúng.

Do $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $\Rightarrow BC \bot AH$ nên B đúng.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC$ nên D đúng.

Do $AH \bot \left( {SBC} \right)$ nên nó không thể vuông góc với $\left( {SCD} \right)$ nên C sai.

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$.

Do đó $\left. \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$

Vậy $\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot SC$.

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD$.

Có $AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại $B.$

Ta có $SA \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB,\Delta SAC$ là các tam giác vuông tại $A.$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC$ là tam giác vuông tại $B.$

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông.

Vì $SA = SB = SC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Suy ra $G$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $BM = CM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}.$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a,$ có $GM = \dfrac{{AM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.$

Tam giác $SBM$ vuông tại $M,$ có $SM = \sqrt {S{B^2} - M{B^2}}  = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} .$

Tam giác $SGM$ vuông tại $G,$ có $SG = \sqrt {S{M^2} - G{M^2}}  = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{{12}}}  = \dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.$

Vậy: $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\left( 1 \right)$

Tương tự : $AF \bot SC\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AEF} \right).$

Mà $AM \subset \left( {AEF} \right)$ nên $AM \bot SC$.

Do $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $CH \bot AB$.

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH$.

Do đó $CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot HK,CH \bot AK$ hay A, C đúng.

Ngoài ra $HK//SA,SA \bot AB \Rightarrow HK \bot AB$, mà $AB \bot CH$ $\Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)$ hay B đúng.

D sai vì $BC$ không vuông góc với $AC$ nên không có $BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Ta có $OA \bot (OBC) \Rightarrow OA \bot BC,$ mà $OH \bot BC$ $\Rightarrow BC \bot (OAH) \Rightarrow BC \bot AH$.

Tương tự, ta có $AB \bot CH$, suy ra đáp án A, D đúng.

Ta có $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}}$ $= \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}$

với $I = AH \cap BC$, suy ra đáp án C đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot BH$. Tương tự $BD \bot CH$

Suy ra $H$ là trực tâm $\Delta BCD$. Suy ra đáp án A, B đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AD$, suy ra C đúng.