Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Bài toán đếm

Mỗi cách lấy ra $k$ trong số $n$ phần tử có sắp xếp thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử.

Gọi $\overline {abcde}$ là số cần tìm.

Chọn $e$ có $3$ cách.

Chọn $a \ne 0$ và $a \ne e$ có $4$ cách.

Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào $b,\,c,\,d$ có $A_4^3$ cách.

Vậy có $3.4.A_4^3 = 288$ số.

Gọi $\overline {abcde}$ là số cần tìm.

Nếu $e = 0$, chọn $4$ trong $5$ số còn lại sắp vào các vị trí $a,\,b,\,c,\,d$ có $A_5^4 = 120$ cách.

Nếu $e \ne 0$, chọn $e$ có $2$ cách.

Chọn $a \ne 0$ và $a \ne e$ có $4$ cách.

Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào các vị trí $b,\,c,\,d$ có $A_4^3$ cách.

Như vậy có: $A_5^4 + 2.4.A_4^3 = 312$ số.

Chọn An có $1$ cách chọn.

Chọn $3$ bạn trong $11$ bạn còn lại có $C_{11}^3 = 165$ cách chọn.

Vậy có $165$ cách chọn.

Chọn $2$ trong $10$ học sinh chia thành nhóm $2$ có: $C_{10}^2$ cách.

Chọn $3$ trong $8$ học sinh còn lại chia thành nhóm $3$ có: $C_8^3$ cách.

Chọn $5$ trong $5$ học sinh còn lại chia thành nhóm $5$ có $C_5^5$ cách.

Vậy có $C_{10}^2.C_8^3.C_5^5$ cách.

Chọn nhóm gồm $2$ nam, $2$ nữ, có $C_7^2.C_6^2$ cách.

Chọn nhóm gồm $1$ nam, $3$ nữ, có $C_7^1.C_6^3$ cách.

Chọn nhóm gồm $4$ nữ, có $C_6^4$ cách

Vậy có: $\left( {C_7^2.C_6^2} \right) + \left( {C_7^1.C_6^3} \right) + C_6^4$ cách.

Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là $C_{12}^4 = 495$ cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

$*$ TH1: Lớp $A$ có hai học sinh, các lớp $B,C$ mỗi lớp có 1 học sinh:

Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp $A$ có $C_5^2$ cách.

Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp $B$ có $C_4^1$ cách.

Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp $C$ có $C_3^1$ cách.

Suy ra số cách chọn là $C_5^2.C_4^1.C_3^1 = 120$ cách.

$*$ TH2: Lớp $B$ có 2 học sinh, các lớp $A,C$ mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là $C_5^1.C_4^2.C_3^1 = 90$ cách.

$*$ TH3: Lớp $C$ có 2 học sinh, các lớp $A,B$ mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là $C_5^1.C_4^1.C_3^2 = 60$ cách.

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là $120 + 90 + 60 = 270$ cách.

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là $495 - 270 = 225$ cách.

Chọn $4$ trong $16$ thành viên để bầu ban chấp hành (có phân biệt thứ tự) có $A_{16}^4 = \dfrac{{16!}}{{12!}}$.

Ta tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có $1$ môn hết sách.

TH1: Môn Toán hết sách:

Số cách chọn $4$ cuốn sách Toán là $1$ cách.

Số cách chọn $1$ cuốn trong $6$ cuốn còn lại là $6$ cách.

Vậy có $6$ cách chọn sách.

Số cách tặng $5$ cuốn sách đó cho $5$ em học sinh là $A_5^5 = 120$ cách.

Vậy có $6.120 = 720$ cách.

TH2: Môn Lí hết sách:

Số cách chọn $3$ cuốn sách Lí là $1$ cách.

Số cách chọn $2$ cuốn trong $7$ cuốn còn lại là $C_7^2$ cách.

Vậy có $21$ cách chọn sách.

Số cách tặng $5$ cuốn sách đó cho $5$ em học sinh là $A_5^5 = 120$ cách.

Vậy có $21.120 = 2520$ cách.

TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp $2$ thì có $2520$ cách.

Số cách chọn $5$ cuốn bất kì trong $10$ cuốn và tặng cho $5$ em là $C_{10}^5.A_5^5 = 30240$ cách.

Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là $30240 - 720 - 2520 - 2520 = 24480$ cách.

Bước 1: Chọn bi

Chọn $5$viên bi bất kì có $C_{45}^5$ cách.

Số cách chọn ra $5$viên bi trong đó không có viên bi nào màu đỏ là $C_{35}^5$ cách.

Vậy số cách chọn ra $5$viên bi trong đó có ít nhất $1$ viên bi màu đỏ là $C_{45}^5 - C_{35}^5$ cách.

Bước 2: Sắp xếp các viên bi.

Số cách xếp $5$viên bi vào $5$ô là $5!$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $5!\left( {C_{45}^5 - C_{35}^5} \right) = 107655240$ cách.

Cứ $2$ đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).

Khi đó có $C_{12}^2 = 66$ cạnh.

Số đường chéo là: $66 - 12 = 54$.

Vì không có ba đường chéo nào đồng quy nên giao điểm của hai đường chéo ứng với một bộ bốn đỉnh của đa giác và ngược lại.

Do đó số giao điểm của các đường chéo là: $C^4_{10}=210$

Cứ $2$ đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).

Khi đó có $C_{12}^2 = 66$ đoạn thẳng.

Trong $66$ đoạn thẳng trên có $12$ đoạn thẳng là cạnh của đa giác nên:

Số đường chéo là: $66 - 12 = 54$.

Bước 1:

Trong 6 học sinh có 5 học sinh nam, 1 học sinh nữ $\Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{20}^5.C_{15}^1$

Bước 2:

Cả 6 học sinh được chọn đều là nam  $\Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{20}^6$

Bước 3:

Theo quy tắc cộng ta có $C_{20}^6 + C_{20}^5.C_{15}^1 = 271320$cách chọn thỏa mãn đề bài.

Số tập con gồm $6$ phần tử trong tập $A$ gồm $26$ phần tử là $C_{26}^6$.

Với $n$ là số nguyên dương, số các hoán vị của $n$ phần tử là: ${P_n} = n$ !

Số cách chọn $2$ học sinh từ $8$ học sinh là $C_8^2.$

Ta có $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \Rightarrow A_n^2 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\,\,\left( {n \ge 2} \right)$.

Muốn có được 1 tam giác, ta cần chọn được 3 điểm không thẳng hàng.

TH1: Chọn 2 điểm trên ${d_1}$ và 1 điểm trên ${d_2}$. Có $C_5^2.C_4^1 = 40$ cách.

TH2: Chọn 2 điểm trên ${d_2}$ và 1 điểm trên ${d_1}$. Có $C_4^2.C_5^1 = 30$ cách.

Vậy số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là: $40 + 30 = 70$.