Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử có sắp xếp thứ tự được gọi là:
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử có sắp xếp thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
Từ các số \(0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9\) tạo được bao nhiêu số lẻ có \(5\) chữ số khác nhau?
Gọi \(\overline {abcde} \) là số cần tìm.
Chọn \(e\) có \(3\) cách.
Chọn \(a \ne 0\) và \(a \ne e\) có \(4\) cách.
Chọn \(3\) trong \(4\) số còn lại sắp vào \(b,\,c,\,d\) có \(A_4^3\) cách.
Vậy có \(3.4.A_4^3 = 288\) số.
Từ các số \(0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9\) tạo được bao nhiêu số chẵn có \(5\) chữ số khác nhau?
Gọi \(\overline {abcde} \) là số cần tìm.
Nếu \(e = 0\), chọn \(4\) trong \(5\) số còn lại sắp vào các vị trí $a,\,b,\,c,\,d$ có \(A_5^4 = 120\) cách.
Nếu \(e \ne 0\), chọn \(e\) có \(2\) cách.
Chọn \(a \ne 0\) và \(a \ne e\) có \(4\) cách.
Chọn \(3\) trong \(4\) số còn lại sắp vào các vị trí \(b,\,c,\,d\) có \(A_4^3\) cách.
Như vậy có: \(A_5^4 + 2.4.A_4^3 = 312\) số.
Một tổ gồm \(12\) học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(4\) em đi trực trong đó phải có An:
Chọn An có \(1\) cách chọn.
Chọn \(3\) bạn trong \(11\) bạn còn lại có \(C_{11}^3 = 165\) cách chọn.
Vậy có \(165\) cách chọn.
Số cách chia \(10\) học sinh thành \(3\) nhóm lần lượt gồm \(2\), \(3\), \(5\) học sinh là:
Chọn \(2\) trong \(10\) học sinh chia thành nhóm \(2\) có: \(C_{10}^2\) cách.
Chọn \(3\) trong \(8\) học sinh còn lại chia thành nhóm \(3\) có: \(C_8^3\) cách.
Chọn \(5\) trong \(5\) học sinh còn lại chia thành nhóm \(5\) có \(C_5^5\) cách.
Vậy có \(C_{10}^2.C_8^3.C_5^5\) cách.
Một tổ gồm \(7\) nam và \(6\) nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(4\) em đi trực sao cho có ít nhất \(2\) nữ?
Chọn nhóm gồm \(2\) nam, \(2\) nữ, có \(C_7^2.C_6^2\) cách.
Chọn nhóm gồm \(1\) nam, \(3\) nữ, có \(C_7^1.C_6^3\) cách.
Chọn nhóm gồm \(4\) nữ, có \(C_6^4\) cách
Vậy có: \(\left( {C_7^2.C_6^2} \right) + \left( {C_7^1.C_6^3} \right) + C_6^4\) cách.
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp \(A\), 4 học sinh lớp \(B\) và 3 học sinh lớp \(C\). Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là \(C_{12}^4 = 495\) cách.
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
\( * \) TH1: Lớp \(A\) có hai học sinh, các lớp \(B,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:
Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp \(A\) có \(C_5^2\) cách.
Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp \(B\) có \(C_4^1\) cách.
Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp \(C\) có \(C_3^1\) cách.
Suy ra số cách chọn là \(C_5^2.C_4^1.C_3^1 = 120\) cách.
\( * \) TH2: Lớp \(B\) có 2 học sinh, các lớp \(A,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:
Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^2.C_3^1 = 90\) cách.
\( * \) TH3: Lớp \(C\) có 2 học sinh, các lớp \(A,B\) mỗi lớp có 1 học sinh:
Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^1.C_3^2 = 60\) cách.
Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là \(120 + 90 + 60 = 270\) cách.
Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là \(495 - 270 = 225\) cách.
Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ \(16\) thành viên là:
Chọn \(4\) trong \(16\) thành viên để bầu ban chấp hành (có phân biệt thứ tự) có \(A_{16}^4 = \dfrac{{16!}}{{12!}}\).
Một thầy giáo có \(10\) cuốn sách khác nhau trong đó có \(4\) cuốn sách Toán, \(3\) cuốn sách Lí, \(3\) cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra \(5\) cuốn và tặng cho \(5\) em học sinh \(A,\,B,\,C,\,D,\,E\) mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn.
Ta tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có \(1\) môn hết sách.
TH1: Môn Toán hết sách:
Số cách chọn \(4\) cuốn sách Toán là \(1\) cách.
Số cách chọn \(1\) cuốn trong \(6\) cuốn còn lại là \(6\) cách.
Vậy có \(6\) cách chọn sách.
Số cách tặng \(5\) cuốn sách đó cho \(5\) em học sinh là \(A_5^5 = 120\) cách.
Vậy có \(6.120 = 720\) cách.
TH2: Môn Lí hết sách:
Số cách chọn \(3\) cuốn sách Lí là \(1\) cách.
Số cách chọn \(2\) cuốn trong \(7\) cuốn còn lại là \(C_7^2\) cách.
Vậy có \(21\) cách chọn sách.
Số cách tặng \(5\) cuốn sách đó cho \(5\) em học sinh là \(A_5^5 = 120\) cách.
Vậy có \(21.120 = 2520\) cách.
TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp \(2\) thì có \(2520\) cách.
Số cách chọn \(5\) cuốn bất kì trong \(10\) cuốn và tặng cho \(5\) em là \(C_{10}^5.A_5^5 = 30240\) cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là \(30240 - 720 - 2520 - 2520 = 24480\) cách.
Trong một túi đựng $10$ viên bi đỏ, $20$ viên bi xanh và $15$ viên bi vàng. Các viên bi có cùng kích thước. Số cách lấy ra $5$ viên bi và xếp chúng vào $5$ ô sao cho $5$ ô đó có ít nhất $1$ viên bi đỏ là:
Bước 1: Chọn bi
Chọn $5$viên bi bất kì có \(C_{45}^5\) cách.
Số cách chọn ra $5$viên bi trong đó không có viên bi nào màu đỏ là \(C_{35}^5\) cách.
Vậy số cách chọn ra $5$viên bi trong đó có ít nhất $1$ viên bi màu đỏ là \(C_{45}^5 - C_{35}^5\) cách.
Bước 2: Sắp xếp các viên bi.
Số cách xếp $5$viên bi vào $5$ô là $5!$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có \(5!\left( {C_{45}^5 - C_{35}^5} \right) = 107655240\) cách.
Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều \(12\) cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
Cứ \(2\) đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó có \(C_{12}^2 = 66\) cạnh.
Số đường chéo là: \(66 - 12 = 54\).
Đề chính thức ĐGNL HCM 2019
Cho đa giác lồi có 10 cạnh. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy, số giao điểm của các đường chéo là
Vì không có ba đường chéo nào đồng quy nên giao điểm của hai đường chéo ứng với một bộ bốn đỉnh của đa giác và ngược lại.
Do đó số giao điểm của các đường chéo là: $C^4_{10}=210$
Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều \(12\) cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
Cứ \(2\) đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó có \(C_{12}^2 = 66\) đoạn thẳng.
Trong \(66\) đoạn thẳng trên có \(12\) đoạn thẳng là cạnh của đa giác nên:
Số đường chéo là: \(66 - 12 = 54\).
Một lớp học gồm 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cô giáo chọn ngẫu nhiên 6 học sinh để đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh từ lớp ấy sao cho trong đó có ít nhất 5 học sinh nam ?
Bước 1:
Trong 6 học sinh có 5 học sinh nam, 1 học sinh nữ \( \Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{20}^5.C_{15}^1\)
Bước 2:
Cả 6 học sinh được chọn đều là nam \( \Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{20}^6\)
Bước 3:
Theo quy tắc cộng ta có \(C_{20}^6 + C_{20}^5.C_{15}^1 = 271320\)cách chọn thỏa mãn đề bài.
Cho tập \(A\) có \(26\) phần tử. Hỏi \(A\) có bao nhiêu tập con gồm \(6\) phần tử?
Số tập con gồm \(6\) phần tử trong tập \(A\) gồm \(26\) phần tử là \(C_{26}^6\).
Với \(n\) là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng?
Với \(n\) là số nguyên dương, số các hoán vị của \(n\) phần tử là: \({P_n} = n\) !
Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104
Số cách chọn \(2\) học sinh từ \(8\) học sinh là
Số cách chọn \(2\) học sinh từ \(8\) học sinh là \(C_8^2.\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Với \(n\) là số nguyên dương bất kì, \(n \ge 2\), công thức nào dưới đây đúng?
Ta có \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \Rightarrow A_n^2 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\,\,\left( {n \ge 2} \right)\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau. Trên \({d_1}\) lấy 5 điểm phân biệt, trên \({d_2}\) lấy 4 điểm phân biệt. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là:
Muốn có được 1 tam giác, ta cần chọn được 3 điểm không thẳng hàng.
TH1: Chọn 2 điểm trên \({d_1}\) và 1 điểm trên \({d_2}\). Có \(C_5^2.C_4^1 = 40\) cách.
TH2: Chọn 2 điểm trên \({d_2}\) và 1 điểm trên \({d_1}\). Có \(C_4^2.C_5^1 = 30\) cách.
Vậy số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là: \(40 + 30 = 70\).
Cho $15$ điểm trong không gian trong đó có $8$ điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong $15$ điểm đó. Hỏi chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện?
Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành tứ diện
Mỗi tứ diện được tạo thành là một cách chọn 4 điểm phân biệt không đồng phẳng trong $15$ điểm.
Bước 2: Sử dụng công thức tổ hợp.
Số cách chọn 4 điểm trong $15$ điểm là: $C_{15}^{4}$.
Trong các cách chọn đó có $C_{8}^{4}$ cách chọn 4 điểm mà không tạo thành một tứ diện (vì 4 điểm này đồng phẳng).
Vậy có: $C_{15}^{4}-C_{8}^{4}=1295$ tứ diện được tạo thành.
