Một số phương pháp tính giới hạn dãy số

  •   
Câu 1 Trắc nghiệm

lim13n2n+4.3n bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Bước 1:

lim13n2n+4.3n=lim13n12n3n+4

Bước 2:

13<1lim13n=lim(13)n=023<1lim2n3n=lim(23)n=0

lim13n2n+4.3n=010+4=14

Câu 2 Trắc nghiệm

lim(n2+3nn2+2)=ab( a,bZab tối giản) thì tổng a2+b2 là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:

lim(n2+3nn2+2)=limn2+3nn22n2+3n+n2+2=lim3n2n2+3n+n2+2=limn(32n)n(1+3n+1+2n2)=31+1=32

Bước 2:

=> a=3, b=2

=> a2+b2=9+4=13

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng a và có diện tích S1. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông A2B2C2D2 và có diện tích S2. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông. Goi Sn là diện tích của các hình vuông (n=1,2,). Tìm a biết S1+S2+=323.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1: Tính diện tích các hình vuông AnBnCnDn(n1) và lập bảng.

Áp dụng định lý Pitago để tính các cạnh hình vuông.

Ta có: A2B22=A1A22+A1B22=(a4)2+(3a4)2 =a2.1016

Diện tích hình vuông A2B2C2D2A2B22=a2.1016

Cứ như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:

Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

S1;S2;S3; là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

- Số hạng đầu: S1=a2

- Công bội: q=1016

Do đó: S=S1+S2+S3+=S11q=a2110168a23

Theo giả thiết: S=3238a23=323a=2.

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho một tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng a và có diện tích S1. Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều A2B2C2 và có diện tích S2. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều. Tìm a biết S=S1+S2+=33.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Bước 1: Tính diện tích các tam giác AnBnCn(n1) và lập bảng.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a: S1=SA1B1C1=a234

Vì các tam giác đều An+1Bn+1Cn+1 có các cạnh đều bằng một nửa cạnh của tam giác AnBnCn(n1) nên ta có: SAn+1Bn+1Cn+1=14SAnBnCn

Như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:

S1;S2;S3; là một cấp số nhân lùi vô hạn biêt:

- Số hạng đầu: a234

- Công bội: q=14

Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Do đó: S=S1+S2+S3+=S11q=a234114=a233

Theo giả thiết: S=33a233=33a=1

Câu 5 Trắc nghiệm

Giá trị của A=lim2n+113n bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

lim2n+113n=lim2+1n1n3=23=23

Câu 6 Trắc nghiệm

Giá trị của A=lim2n2+3n+13n2n+2 bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: A=lim2+3n+1n231n+2n2=23.

Câu 7 Trắc nghiệm

Giá trị của D=limn33n2+2n4+4n3+1 bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

D=lim1n3n2+2n41+4n+1n4=0+0+01+0+0=0

Câu 8 Trắc nghiệm

Giá trị của C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1 bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1=lim3.3n+4n3.3n+4.4n =lim3.(34)n+13.(34)n+4=14=12

Câu 9 Trắc nghiệm

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng +?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

limn22n5n+5n2=lim12n5n+5=15.lim1+n25n+5=lim1n2+15n+5n2=+.lim1+2n5n+5n2=lim1n2+2n5n+5=05=0.lim1n25n+5=lim1n215n+5n2=.

Câu 10 Trắc nghiệm

Giá trị lim(5nn2+1) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có 5nn2+1=n2(1+5n+1n2).

limn2=+lim(1+5n+1n2)=1<0 nên lim(5nn2+1)=

Câu 11 Trắc nghiệm

Giới hạn lim(3.2n+15.3n+7n) bằng :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: lim(3.2n+15.3n+7n)=3n(5+6(23)n+7n3n)=

Câu 12 Trắc nghiệm

Giá trị của C=lim(2n2+1)4(n+2)9n17+1 bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: C=limn8(2+1n2)4.n9(1+2n)9n17(1+1n17) =lim(2+1n2)4.(1+2n)91+1n17 =24.11=16.

Câu 13 Trắc nghiệm

Giá trị của B=lim(3n3+9n2n) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: B=lim(3n3+9n2n)=lim(3n3+9n2n)(3(n3+9n2)2+n3n3+9n2+n2)3(n3+9n2)2+n3n3+9n2+n2

               =limn3+9n2n33(n3+9n2)2+n3n3+9n2+n2=lim9n23(n3+9n2)2+n3n3+9n2+n2=lim93(1+9n)2+1+9n+1=91+1+1=3.

Câu 14 Trắc nghiệm

Giá trị của D=limn2+133n3+242n4+n+2n bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: D=limn(1+1n233+2n3)n(42+1n3+2n41)=133421.

Câu 15 Trắc nghiệm

Giá trị của D=lim(n2+2n3n3+2n2) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: D=lim(n2+2n3n3+2n2)

=lim(n2+2nn)lim(3n3+2n2n) =lim(n2+2nn)(n2+2n+n)n2+2n+n lim[(3n3+2n2n).(3(n3+2n2)2+n3n3+2n2+n2)]3(n3+2n2)2+n3n3+2n2+n2 =limn2+2nn2n2+2n+n limn3+2n2n33(n3+2n2)2+n3n3+2n2+n2 =lim2nn2+2n+n lim2n23(n3+2n2)2+n3n3+2n2+n2 =lim21+2n+1 lim23(1+2n)2+31+2n+1 =2221+1+1=13.

Câu 16 Trắc nghiệm

Giá trị của K=lim(3n3+n2134n2+n+1+5n) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

K=lim(3n3+n2134n2+n+1+5n)=lim(3n3+n21n)3lim(4n2+n+12n).

Ta có:

\begin{array}{l}A = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) \\= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + 1} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + 1}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}} \\= \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} \\= \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}.\end{array}

\begin{array}{l}B = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right) \\= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}}\\ = \lim \dfrac{{4{n^2} + n + 1 - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}} \\= \lim \dfrac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}} \\= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  + 2}} \\= \dfrac{1}{{\sqrt 4  + 2}} = \dfrac{1}{4}.\\ \Rightarrow K = A - 3B = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} =  - \dfrac{5}{{12}}.\end{array}

Câu 17 Trắc nghiệm

Tính giới hạn của dãy số  {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1  + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n  + n\sqrt {n + 1} }}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: \dfrac{1}{{(k + 1)\sqrt k  + k\sqrt {k + 1} }} =\dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1}  + \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1}  - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1}  + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1}  - \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1}  - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {k + 1 - k} \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1}  - \sqrt k }}{{\sqrt k .\sqrt {k + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}

\Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1  + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n  + n\sqrt {n + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}

Suy ra {u_n} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1  do  \lim \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0

Câu 18 Trắc nghiệm

Cho dãy số ({u_n}) với {u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right). Khi đó \lim {u_n}bằng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\begin{array}{l}{u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \left( {\dfrac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}}} \right).\left( {\dfrac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}}} \right)...\left( {\dfrac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{3^2} - 1} \right)...\left( {{n^2} - 1} \right)}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1.3} \right).\left( {2.4} \right).\left( {3.5} \right).\left( {4.6} \right)\,...\,\,\left[ {\left( {n - 1} \right).\left( {n + 1} \right)} \right]}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{2} = \dfrac{1}{2}.\end{array}

Câu 19 Trắc nghiệm

Giá trị \lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \left| {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right| = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \dfrac{1}{{n.n}} = \dfrac{1}{{{n^2}}}\lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0 nên suy ra \lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 0

Câu 20 Trắc nghiệm

Giá trị của C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1}  + n}} bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Chia cả tử và mẫu cho {n^2} ta có được : C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \dfrac{3}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}  + \dfrac{1}{n}}} = 0.