lim1−3n2n+4.3n bằng
Bước 1:
lim1−3n2n+4.3n=lim13n−12n3n+4
Bước 2:
Vì
13<1⇒lim13n=lim(13)n=023<1⇒lim2n3n=lim(23)n=0
⇒lim1−3n2n+4.3n=0−10+4=−14
lim(√n2+3n−√n2+2)=ab( a,b∈Z và ab tối giản) thì tổng a2+b2 là:
Bước 1:
lim(√n2+3n−√n2+2)=limn2+3n−n2−2√n2+3n+√n2+2=lim3n−2√n2+3n+√n2+2=limn(3−2n)n(√1+3n+√1+2n2)=31+1=32
Bước 2:
=> a=3, b=2
=> a2+b2=9+4=13
Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng a và có diện tích S1. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông A2B2C2D2 và có diện tích S2. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông. Goi Sn là diện tích của các hình vuông (n=1,2,…). Tìm a biết S1+S2+…=323.
Bước 1: Tính diện tích các hình vuông AnBnCnDn(n≥1) và lập bảng.
Áp dụng định lý Pitago để tính các cạnh hình vuông.
Ta có: A2B22=A1A22+A1B22=(a4)2+(3a4)2 =a2.1016
Diện tích hình vuông A2B2C2D2 là A2B22=a2.1016
Cứ như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:
Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Có S1;S2;S3;… là một cấp số nhân lùi vô hạn với:
- Số hạng đầu: S1=a2
- Công bội: q=1016
Do đó: S=S1+S2+S3+…=S11−q=a21−10168a23
Theo giả thiết: S=323⇔8a23=323⇔a=2.
Cho một tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng a và có diện tích S1. Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều A2B2C2 và có diện tích S2. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều. Tìm a biết S=S1+S2+…=√33.
Bước 1: Tính diện tích các tam giác AnBnCn(n≥1) và lập bảng.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a: S1=SA1B1C1=a2√34
Vì các tam giác đều An+1Bn+1Cn+1 có các cạnh đều bằng một nửa cạnh của tam giác AnBnCn(n≥1) nên ta có: SAn+1Bn+1Cn+1=14SAnBnCn
Như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:
Có S1;S2;S3;… là một cấp số nhân lùi vô hạn biêt:
- Số hạng đầu: a2√34
- Công bội: q=14
Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Do đó: S=S1+S2+S3+…=S11−q=a2√341−14=a2√33
Theo giả thiết: S=√33⇔a2√33=√33⇔a=1
Giá trị của A=lim2n+11−3n bằng:
lim2n+11−3n=lim2+1n1n−3=2−3=−23
Giá trị của A=lim2n2+3n+13n2−n+2 bằng:
Ta có: A=lim2+3n+1n23−1n+2n2=23.
Giá trị của D=limn3−3n2+2n4+4n3+1 bằng:
D=lim1n−3n2+2n41+4n+1n4=0+0+01+0+0=0
Giá trị của C=lim√3.3n+4n3n+1+4n+1 bằng:
C=lim√3.3n+4n3n+1+4n+1=lim√3.3n+4n3.3n+4.4n =lim√3.(34)n+13.(34)n+4=√14=12
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng +∞?
limn2−2n5n+5n2=lim1−2n5n+5=15.lim1+n25n+5=lim1n2+15n+5n2=+∞.lim1+2n5n+5n2=lim1n2+2n5n+5=05=0.lim1−n25n+5=lim1n2−15n+5n2=−∞.
Giá trị lim(5n−n2+1) bằng
Ta có 5n−n2+1=n2(−1+5n+1n2).
Vì limn2=+∞ và lim(−1+5n+1n2)=−1<0 nên lim(5n−n2+1)=−∞
Giới hạn lim(3.2n+1−5.3n+7n) bằng :
Ta có: lim(3.2n+1−5.3n+7n)=3n(−5+6(23)n+7n3n)=−∞
Giá trị của C=lim(2n2+1)4(n+2)9n17+1 bằng:
Ta có: C=limn8(2+1n2)4.n9(1+2n)9n17(1+1n17) =lim(2+1n2)4.(1+2n)91+1n17 =24.11=16.
Giá trị của B=lim(3√n3+9n2−n) bằng:
Ta có: B=lim(3√n3+9n2−n)=lim(3√n3+9n2−n)(3√(n3+9n2)2+n3√n3+9n2+n2)3√(n3+9n2)2+n3√n3+9n2+n2
=limn3+9n2−n33√(n3+9n2)2+n3√n3+9n2+n2=lim9n23√(n3+9n2)2+n3√n3+9n2+n2=lim93√(1+9n)2+√1+9n+1=91+1+1=3.
Giá trị của D=lim√n2+1−3√3n3+24√2n4+n+2−n bằng:
Ta có: D=limn(√1+1n2−3√3+2n3)n(4√2+1n3+2n4−1)=1−3√34√2−1.
Giá trị của D=lim(√n2+2n−3√n3+2n2) bằng:
Ta có: D=lim(√n2+2n−3√n3+2n2)
=lim(√n2+2n−n)−lim(3√n3+2n2−n) =lim(√n2+2n−n)(√n2+2n+n)√n2+2n+n −lim[(3√n3+2n2−n).(3√(n3+2n2)2+n3√n3+2n2+n2)]3√(n3+2n2)2+n3√n3+2n2+n2 =limn2+2n−n2√n2+2n+n −limn3+2n2−n33√(n3+2n2)2+n3√n3+2n2+n2 =lim2n√n2+2n+n −lim2n23√(n3+2n2)2+n3√n3+2n2+n2 =lim2√1+2n+1 −lim23√(1+2n)2+3√1+2n+1 =22−21+1+1=13.
Giá trị của K=lim(3√n3+n2−1−3√4n2+n+1+5n) bằng:
K=lim(3√n3+n2−1−3√4n2+n+1+5n)=lim(3√n3+n2−1−n)−3lim(√4n2+n+1−2n).
Ta có:
\begin{array}{l}A = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) \\= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + 1} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + 1}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}} \\= \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} \\= \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}.\end{array}
\begin{array}{l}B = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right) \\= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}}\\ = \lim \dfrac{{4{n^2} + n + 1 - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} \\= \lim \dfrac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} \\= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 2}} \\= \dfrac{1}{{\sqrt 4 + 2}} = \dfrac{1}{4}.\\ \Rightarrow K = A - 3B = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} = - \dfrac{5}{{12}}.\end{array}
Tính giới hạn của dãy số {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}
Ta có: \dfrac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} =\dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {k + 1 - k} \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt k .\sqrt {k + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}
\Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}
Suy ra {u_n} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1 do \lim \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0
Cho dãy số ({u_n}) với {u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right). Khi đó \lim {u_n}bằng?
\begin{array}{l}{u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \left( {\dfrac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}}} \right).\left( {\dfrac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}}} \right)...\left( {\dfrac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{3^2} - 1} \right)...\left( {{n^2} - 1} \right)}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1.3} \right).\left( {2.4} \right).\left( {3.5} \right).\left( {4.6} \right)\,...\,\,\left[ {\left( {n - 1} \right).\left( {n + 1} \right)} \right]}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{2} = \dfrac{1}{2}.\end{array}
Giá trị \lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} bằng
Ta có \left| {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right| = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \dfrac{1}{{n.n}} = \dfrac{1}{{{n^2}}} mà \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0 nên suy ra \lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 0
Giá trị của C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}} bằng:
Chia cả tử và mẫu cho {n^2} ta có được : C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \dfrac{3}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} + \dfrac{1}{n}}} = 0.