lim1−3n2n+4.3n bằng
Bước 1:
\lim \dfrac{{1 - {3^n}}}{{{2^n} + {{4.3}^n}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^n}}} - 1}}{{\dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}}} + 4}}
Bước 2:
Vì
\begin{array}{l}\dfrac{1}{3} < 1 \Rightarrow \lim \dfrac{1}{{{3^n}}} = \lim {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^n} = 0\\\dfrac{2}{3} < 1 \Rightarrow \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}}} = \lim {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^n} = 0\end{array}
\Rightarrow \lim \dfrac{{1 - {3^n}}}{{{2^n} + {{4.3}^n}}} = \dfrac{{0 - 1}}{{0 + 4}} = \dfrac{{ - 1}}{4}
\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right) = \dfrac{a}{b}( a,b \in \mathbb{Z} và \dfrac{a}{b} tối giản) thì tổng {a^2} + {b^2} là:
Bước 1:
\begin{array}{l}\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\\ = \lim \dfrac{{{n^2} + 3n - {n^2} - 2}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{3n - 2}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{n\left( {3 - \dfrac{2}{n}} \right)}}{{n\left( {\sqrt {1 + \dfrac{3}{n}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} } \right)}}\\ = \dfrac{3}{{1 + 1}} = \dfrac{3}{2}\end{array}
Bước 2:
=> a=3, b=2
=> {a^2} + {b^2} = 9 + 4 = 13
Cho hình vuông A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} có cạnh bằng a và có diện tích S_{1}. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} và có diện tích S_{2}. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông. Goi S_{n} là diện tích của các hình vuông (n=1,2, \ldots). Tìm a biết S_{1}+S_{2}+\ldots=\dfrac{32}{3}.
Bước 1: Tính diện tích các hình vuông {A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\left( {n \ge 1} \right) và lập bảng.
Áp dụng định lý Pitago để tính các cạnh hình vuông.
Ta có: {A_2}{B_2}^2 = {A_1}{A_2}^2 + {A_1}{B_2}^2 = {\left( {\dfrac{a}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)^2} = {a^2}.\dfrac{{10}}{{16}}
Diện tích hình vuông {A_2}{B_2}{C_2}{D_2} là {A_2}{B_2}^2 = {a^2}.\dfrac{{10}}{{16}}
Cứ như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:
Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Có S_{1} ; S_{2} ; S_{3} ; \ldots là một cấp số nhân lùi vô hạn với:
- Số hạng đầu: S_{1}=a^{2}
- Công bội: q=\dfrac{10}{16}
Do đó: S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+\ldots=\dfrac{S_{1}}{1-q}=\dfrac{a^{2}}{1-\dfrac{10}{16}} \dfrac{8 a^{2}}{3}
Theo giả thiết: S=\dfrac{32}{3} \Leftrightarrow \dfrac{8 a^{2}}{3}=\dfrac{32}{3} \Leftrightarrow a=2.
Cho một tam giác đều A_{1} B_{1} C_{1} có cạnh bằng a và có diện tích S_{1}. Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều A_{2} B_{2} C_{2} và có diện tích S_{2}. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều. Tìm a biết S=S_{1}+S_{2}+\ldots=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
Bước 1: Tính diện tích các tam giác {A_n}{B_n}{C_n}\left( {n \ge 1} \right) và lập bảng.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a: {S_1} = {S_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}
Vì các tam giác đều {A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}} có các cạnh đều bằng một nửa cạnh của tam giác {A_n}{B_n}{C_n}\left( {n \ge 1} \right) nên ta có: {S_{{A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{4}{S_{{A_n}{B_n}{C_n}}}
Như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:
Có S_{1} ; S_{2} ; S_{3} ; \ldots là một cấp số nhân lùi vô hạn biêt:
- Số hạng đầu: \dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{4}
- Công bội: q=\dfrac{1}{4}
Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Do đó: S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+\ldots=\dfrac{S_{1}}{1-q}=\dfrac{\dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{3}
Theo giả thiết: S=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow a=1
Giá trị của A = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}} bằng:
\lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{1}{n}}}{{\dfrac{1}{n} - 3}} = \dfrac{2}{{ - 3}} = - \dfrac{2}{3}
Giá trị của A = \lim \dfrac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}} bằng:
Ta có: A = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} = \dfrac{2}{3}.
Giá trị của D = \lim \dfrac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} bằng:
D = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}} + \dfrac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{{0 + 0 + 0}}{{1 + 0 + 0}} = 0
Giá trị của C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} bằng:
C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{{3.3}^n} + {{4.4}^n}}}} = \lim \sqrt {\dfrac{{3.{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + 1}}{{3.{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}} = \sqrt {\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng + \infty ?
\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{5}{n} + 5}} = \dfrac{1}{5}.\\\lim \dfrac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + 1}}{{\dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{{{n^2}}}}} = + \infty .\\\lim \dfrac{{1 + 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{5}{n} + 5}} = \dfrac{0}{5} = 0.\\\lim \dfrac{{1 - {n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 1}}{{\dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{{{n^2}}}}} = - \infty .\end{array}
Giá trị \lim \left( {5n - {n^2} + 1} \right) bằng
Ta có 5n - {n^2} + 1 = {n^2}\left( { - 1 + \dfrac{5}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right).
Vì \lim {n^2} = + \infty và \lim \left( { - 1 + \dfrac{5}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = - 1 < 0 nên \lim \left( {5n - {n^2} + 1} \right) = - \infty
Giới hạn \lim \left( {{{3.2}^{n + 1}} - {{5.3}^n} + 7n} \right) bằng :
Ta có: \lim \left( {{{3.2}^{n + 1}} - {{5.3}^n} + 7n} \right) = {3^n}\left( { - 5 + 6{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + 7\dfrac{n}{{{3^n}}}} \right) = - \infty
Giá trị của C = \lim \dfrac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}} bằng:
Ta có: C = \lim \dfrac{{{n^8}{{\left( {2 + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}^4}.{n^9}{{\left( {1 + \dfrac{2}{n}} \right)}^9}}}{{{n^{17}}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^{17}}}}} \right)}} = \lim \dfrac{{{{\left( {2 + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}^4}.{{\left( {1 + \dfrac{2}{n}} \right)}^9}}}{{1 + \dfrac{1}{{{n^{17}}}}}} = \dfrac{{{2^4}.1}}{1} = 16.
Giá trị của B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right) bằng:
Ta có: B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right) = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}
\begin{array}{l} = \lim \dfrac{{{n^3} + 9{n^2} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}} = \lim \dfrac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \dfrac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \dfrac{9}{n}} + 1}} = \dfrac{9}{{1 + 1 + 1}} = 3.\end{array}
Giá trị của D = \lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}} bằng:
Ta có: D = \lim \dfrac{{n\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \dfrac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \dfrac{1}{{{n^3}}} + \dfrac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \dfrac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}.
Giá trị của D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right) bằng:
Ta có: D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)
= \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right) = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \dfrac{\left[{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right).\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + n^2} \right)}\right]}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + n^2}} = \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \dfrac{{{n^3} + 2{n^2} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + n^2}} = \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \dfrac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}} = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} - \lim \dfrac{2}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \dfrac{2}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{2}{n}}} + 1}} = \dfrac{2}{2} - \dfrac{2}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}.
Giá trị của K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right) bằng:
\begin{array}{l}K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\\ = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right).\end{array}
Ta có:
\begin{array}{l}A = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) \\= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + 1} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + 1}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}} \\= \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} \\= \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}.\end{array}
\begin{array}{l}B = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right) \\= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}}\\ = \lim \dfrac{{4{n^2} + n + 1 - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} \\= \lim \dfrac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} \\= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 2}} \\= \dfrac{1}{{\sqrt 4 + 2}} = \dfrac{1}{4}.\\ \Rightarrow K = A - 3B = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} = - \dfrac{5}{{12}}.\end{array}
Tính giới hạn của dãy số {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}
Ta có: \dfrac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} =\dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {k + 1 - k} \right)}} = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt k .\sqrt {k + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}
\Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}
Suy ra {u_n} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1 do \lim \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0
Cho dãy số ({u_n}) với {u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right). Khi đó \lim {u_n}bằng?
\begin{array}{l}{u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \left( {\dfrac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}}} \right).\left( {\dfrac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}}} \right)...\left( {\dfrac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{3^2} - 1} \right)...\left( {{n^2} - 1} \right)}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1.3} \right).\left( {2.4} \right).\left( {3.5} \right).\left( {4.6} \right)\,...\,\,\left[ {\left( {n - 1} \right).\left( {n + 1} \right)} \right]}}{{{2^2}{{.3}^2}...{n^2}}} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{2} = \dfrac{1}{2}.\end{array}
Giá trị \lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} bằng
Ta có \left| {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right| = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \dfrac{1}{{n.n}} = \dfrac{1}{{{n^2}}} mà \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0 nên suy ra \lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 0
Giá trị của C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}} bằng:
Chia cả tử và mẫu cho {n^2} ta có được : C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \dfrac{3}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} + \dfrac{1}{n}}} = 0.