Cho một tam giác đều $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1}$. Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều $A_{2} B_{2} C_{2}$ và có diện tích $S_{2}$. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều. Tìm a biết $S=S_{1}+S_{2}+\ldots=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Bước 1: Tính diện tích các tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\left( {n \ge 1} \right)\) và lập bảng.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a: \({S_1} = {S_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vì các tam giác đều \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}\) có các cạnh đều bằng một nửa cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\left( {n \ge 1} \right)\) nên ta có: \({S_{{A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{4}{S_{{A_n}{B_n}{C_n}}}\)

Như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:

Có $S_{1} ; S_{2} ; S_{3} ; \ldots$ là một cấp số nhân lùi vô hạn biêt:

- Số hạng đầu: $\dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

- Công bội: $q=\dfrac{1}{4}$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Do đó: $S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+\ldots=\dfrac{S_{1}}{1-q}=\dfrac{\dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{3}$

Theo giả thiết: $S=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{a^{2} \sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow a=1$