Cho hình vuông $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1}$. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ và có diện tích $S_{2}$. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông. Goi $S_{n}$ là diện tích của các hình vuông $(n=1,2, \ldots)$. Tìm a biết $S_{1}+S_{2}+\ldots=\dfrac{32}{3}$.

Bước 1: Tính diện tích các hình vuông \({A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\left( {n \ge 1} \right)\) và lập bảng.

Áp dụng định lý Pitago để tính các cạnh hình vuông.

Ta có: \({A_2}{B_2}^2 = {A_1}{A_2}^2 + {A_1}{B_2}^2 = {\left( {\dfrac{a}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)^2}\) \( = {a^2}.\dfrac{{10}}{{16}}\)

Diện tích hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là \({A_2}{B_2}^2 = {a^2}.\dfrac{{10}}{{16}}\)

Cứ như thế ta có diện tích tương ứng trong bảng sau:

Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Có $S_{1} ; S_{2} ; S_{3} ; \ldots$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

- Số hạng đầu: $S_{1}=a^{2}$

- Công bội: $q=\dfrac{10}{16}$

Do đó: $S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+\ldots=\dfrac{S_{1}}{1-q}=\dfrac{a^{2}}{1-\dfrac{10}{16}} \dfrac{8 a^{2}}{3}$

Theo giả thiết: $S=\dfrac{32}{3} \Leftrightarrow \dfrac{8 a^{2}}{3}=\dfrac{32}{3} \Leftrightarrow a=2$.