\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\) bằng
Bước 1:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right)\end{array}\)
Bước 2:
\( = 2 + 2 = 4\)
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right)\)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} } \right)}^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + x}}\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 1}}\\ = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1\end{array}\)
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - {x^3}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}$ là:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - {x^3}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}} = \dfrac{{1 - {1^3}}}{{\left( {2.1 - 1} \right)\left( {{1^4} - 3} \right)}} = 0$
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}\) là:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{12 - 4}} - \sqrt {6 - 2} }}{3} = \dfrac{0}{3} = 0\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - x}}{{x - 1}}\) là:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - x}}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt {3 + 1} + 1}}{{ - 1 - 1}} = - \dfrac{3}{2}\)
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}}\) là:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2 + \dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}}} = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)\) bằng
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( { - {x^2} + 3x - 2} \right) = - {1^2} + 3.1 - 2 = 0\)
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}}$ là:
Ta có \(\left| {x + 2} \right| = x + 2\) với mọi \(x > - 2,\) do đó :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{3\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = 3$
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\dfrac{{ - {x^2} - x + 6}}{{{x^2} + 3x}}} \right|\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\dfrac{{ - {x^2} - x + 6}}{{{x^2} + 3x}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} \right|\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right| = \left| {\dfrac{{ - 3 - 2}}{{ - 3}}} \right| = \dfrac{5}{3}\)
Biết rằng$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = a\sqrt 3 + b.$ Tính \({a^2} + {b^2}.\)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2({x^3} + 3\sqrt 3 )}}{{3 - {x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - x} \right)\left( {\sqrt 3 + x} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \dfrac{{2\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 3} \right)}}{{\sqrt 3 - x}}$
$ = \dfrac{{2\left[ {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} - \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right) + 3} \right]}}{{\sqrt 3 - \left( { - \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{18}}{{2\sqrt 3 }} = 3\sqrt 3 $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9$.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {27 - {x^3}} }}$ là:
Ta có \(3 - x > 0\) với mọi \(x < 3,\) do đó:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {27 - {x^3}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {9 + 3x + {x^2}} \right)} }}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\sqrt {3 - x} }}{{\sqrt {9 + 3x + {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {3 - 3} }}{{\sqrt {9 + 3.3 + {3^2}} }} = 0.$
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\dfrac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\dfrac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x + 1}} = \dfrac{5}{3}\)
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}}$ là:
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left( {{x^2} + x} \right) - x}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x }} = + \infty $
vì \(1 > 0\); $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right) = 0$ và \(\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x > 0\) với mọi \(x > 0.\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}\) là:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(x - 1)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {4x + 4} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x + 4}} + 4} \right)}}{{\left( {4x + 4 - 8} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {4x + 4} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x + 4}} + 4} \right)}}{{4\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \dfrac{{12}}{{12}} = 1.\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\) là:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{2\sqrt {1 + x} - 2}}{x} + \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right) = 1 + \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{{13}}{{12}}.\)
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x} + 2x}}\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + \dfrac{2}{x} - 1}}{{\sqrt {9 - \dfrac{3}{x}} + 2}} = \dfrac{1}{5}.\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + 2{x^2}} - x} \right)\) là:
Bước 1:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + 2{x^2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} + 2} - 1} \right) \)
Bước 2:
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} + 2} - 1} \right) = \sqrt 2 - 1 > 0.\)
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} + 2} - 1} \right) = + \infty \)
\(=> \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + 2{x^2}} - x} \right) =+\infty\)
Biết rằng \(a + b = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\) hữu hạn. Tính giới hạn $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{b}{{1 - {x^3}}} - \dfrac{a}{{1 - x}}} \right)$.
Bước 1:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{1 - {x^3}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}.\)
Bước 2:
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\) hữu hạn thì tử thức \(a + ax + a{x^2} - b\) phải có nghiệm bằng \(1\)
\( \Leftrightarrow a + a.1 + a{.1^2} - b = 0 \Leftrightarrow 3a - b = 0.\)
Vậy ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \)
Bước 3:
\( \Rightarrow L = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\)
\( = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} \) \(= - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{1 + x + {x^2}}} = 1\).
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)$ là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{0}{2} = 0.\)
Giá trị của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right)$ là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 3x} + \sqrt {{x^2} + 4x} }} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {1 + \dfrac{3}{x}} + \sqrt {1 + \dfrac{4}{x}} }} = - \dfrac{1}{2}.\)
