Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Ta có $AC \subset \left( {ABCD} \right)$

$\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD$

Giao điểm của $BD$  và $AC$ là $O$

$ \Rightarrow O$  là giao điểm của $AC$  và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$

Ta có \(HK\), \(KM\) là đoạn giao tuyến của \(\left( {HKM} \right)\) với \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).

Trong  mặt  phẳng \(\left( {BCD} \right)\),  do \(KM\) không  song song với \(BD\) nên gọi \(L = KM \cap BD\).

Vậy thiết diện là tam giác \(HKL\).

Ta có $EF \subset \left( {DEF} \right) \Rightarrow EF \subset \left( {DMN} \right)$

$\left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN$

Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $MN$

$⇒ I$ là giao của $EF$ và $(ABC)$

+) Chọn mặt phẳng phụ \(\left( {ABC} \right)\) chứa \(BC\).

+) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\).

Ta có \(H\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), do \(IK\) không song song với \(AC\) nên gọi \(F = IK \cap AC\). Ta có

        ▪ \(F \in AC\) mà \(AC \subset \left( {ABC} \right)\) suy ra \(F \in \left( {ABC} \right)\).

        ▪ \(F \in IK\) mà \(IK \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(F \in \left( {IHK} \right)\).

Suy ra \(F\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\).

Do đó \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {IHK} \right) = HF\).

+) Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), gọi \(E = HF \cap BC\). Ta có

        ▪ \(E \in HF\) mà \(HF \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(E \in \left( {IHK} \right)\).

        ▪ \(E \in BC\).

Vậy \(E = BC \cap \left( {IHK} \right)\).

Cách 1. Xét mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ chứa $CD\,.$

Do $NP$ không song song $CD$ nên $NP$ cắt $CD$ tại $E\,.$

Điểm $E \in NP\,\, \Rightarrow \,\,E \in \left( {MNP} \right).$ Vậy $CD \cap \left( {MNP} \right)$ tại $E.$

Gọi \(I = AD \cap BC.\) Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(K = BM \cap SI\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(N = AK \cap SD\).

Khi đó \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\).

Gọi \(O = AB \cap CD\). Ta có:

• \(O \in AB\) mà \(AB \subset \left( {AMB} \right)\) suy ra \(O \in \left( {AMB} \right)\).
• \(O \in CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) suy ra ${\rm{IJ}},MN,SE$.

Do đó \(O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).    \(\left( 1 \right)\)

Mà \(\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\).   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(O \in MN\). Vậy ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.

Ta có \(\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {ABD} \right)\\I \in NQ \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I\) thuộc giao tuyến của \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\)

\( \Rightarrow I \in BD \Rightarrow I,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D\) thẳng hàng.

Vì $I$ là giao của $AD$ và $\left( {MNK} \right)$ nên $I \in \left( {MNK} \right)$

$ \Rightarrow MI \subset \left( {MNK} \right)$

Mà $E \in MI \Rightarrow E \in \left( {MNK} \right)$

$ \Rightarrow E$  thuộc giao tuyến của $\left( {MNK} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$

$ \Rightarrow E \in NK$

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ suy ra $O$ là trung điểm của $AC\,.$

Nối $AM$ cắt $SO$ tại $I$ mà $SO \subset \left( {SBD} \right)$ suy ra $I = AM \cap \left( {SBD} \right).$

Tam giác $SAC$ có $M,\,\,O$ lần lượt là trung điểm của $SC,\,\,AC.$

Mà $I = AM \cap SO$ suy ra $I$ là trọng tâm tam giác $SAC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \dfrac{2}{3}AM\,\, \Leftrightarrow \,\,IA = 2IM.$

Điểm $I$ nằm giữa $A$ và $M$ suy ra $\overrightarrow {IA}  = 2\overrightarrow {MI}  =  - \,2\overrightarrow {IM} .$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,\,\,\,F$ là trung điểm của $CD$$ \Rightarrow \,\,\,G \in \left( {ABF} \right)\,.$

Ta có $E$ là trung điểm của $AB$$ \Rightarrow \,\,\,E \in \left( {ABF} \right)\,.$

Trong \(\left( {ABF} \right)\), gọi $M$ là giao điểm của $EG$ và $AF$ mà $AF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $M \in \left( {ACD} \right)\,.$

Vậy giao điểm của $EG$ và $mp\,\,\left( {ACD} \right)$ là giao điểm $M = EG \cap AF\,.$

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ suy ra $AN \cap MC = G.$

Dễ thấy mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ cắt đường thắng $AB$ tại điểm $M.$

Suy ra tam giác $MCD$ là thiết diện của mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ và tứ diện $ABCD\,.$

Tam giác $ABD$ đều, có $M$ là trung điểm $AB$ suy ra $MD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Tam giác $ABC$đều, có $M$ là trung điểm $AB$ suy ra $MC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Gọi $H$ là trung điểm của $CD\,\, \Rightarrow \,\,MH \bot CD\,\, \Rightarrow \,\,{S_{\Delta MCD}} = \dfrac{1}{2}.MH.CD$

Với $MH = \sqrt {M{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {M{C^2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Vậy ${S_{\Delta MCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\,.$

Chọn mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) chứa \(SD\).

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABM} \right)\).

Ta có \(B\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABM} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O = AC \cap BD\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K = AM \cap SO\). Ta có:

        ▪ \(K \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SBD} \right)\) suy ra \(K \in \left( {SBD} \right)\).

        ▪ \(K \in AM\) mà \(AM \subset \left( {ABM} \right)\) suy ra \(K \in \left( {ABM} \right)\).

Suy ra \(K\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABM} \right)\).

Do đó \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABM} \right) = BK\).

• Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(N = SD \cap BK\). Ta có:

        ▪ \(N \in BK\) mà \(BK \subset \left( {ABM} \right)\) suy ra \(N \in \left( {ABM} \right)\).

        ▪ \(N \in SD\).

Vậy \(N = SD \cap \left( {ABM} \right)\).

Chỉ có $3$ vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì số điểm chung là giữa chúng là $0$

Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng tại $1$ điểm duy nhất thì số điểm chúng là $1$

Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì giữa chúng có vô số điểm chung.

Khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì $M \in a$ và $M \in \left( P \right)$ và tồn tại đường thẳng $b \subset \left( P \right)$ đi qua $M$, do đó $M$ là giao điểm của $a$ và $b$

Nếu đường thẳng $a$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại \(M\) thì \(M \in \left( P \right)\).

Hơn nữa, các mặt phẳng chứa \(a\) thì cũng chứa \(M\) nên chúng đều có điểm chung với \(\left( P \right)\), do đó đều cắt $\left( P \right)$.

+ Ta có $\left( \beta  \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng b

+ Giao tuyến của $\left( \beta  \right)$ và $\left( \alpha  \right)$  là $d$

+ Giao điểm của $d$ và $b$ là $M$

$ \Rightarrow M$ là giao điểm của $b$ và $\left( \alpha  \right)$

Vậy $M$ nằm trên đường thẳng $d$

Ta có $MN \subset \left( {SAB} \right)$

$\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB$

Gọi $D$  là giao điểm của $MN$  và $AB$

$ \Rightarrow D$  là giao điểm của $MN$  và $\left( {ABC} \right)$

Tam giác \(ABC\) có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\,.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow \,\,MN\)//\(BC\,.\)

Từ \(E\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) và cắt \(BD\) tại \(F\,\, \Rightarrow \,\,EF\)//\(BC.\)

Do đó \(MN//EF\) suy ra bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,E,\,\,F\) đồng phẳng và \(MNEF\) là hình thang.

Vậy hình thang \(MNEF\) là thiết diện cần tìm.

Vì $A \in d'$  mà $d' \subset \left( \alpha  \right)$  và $d' \subset \left( \beta  \right)$ nên $A \in \left( \alpha  \right)$  và \(A \in \left( \beta  \right)\)

Vì $A$  là giao điểm của $d$  và $d'$ nên $A \in d$

Mà $A \in \left( \alpha  \right)$  nên $A$  là giao điểm của $d$  và $\left( \alpha  \right)$

Khẳng định B là đúng