Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Xét trong $\left( {SAC} \right)$  ta gọi $I = AM \cap SO,SO \subset \left( {SBD} \right)$ $\Rightarrow AM \cap \left( {SBD} \right) = I$

Giả sử đường thẳng $b$ cắt đường thẳng $a$ tại $M$ thì $M$ là giao điểm của $a$ và $(P)$

Tương tự đường thẳng $c$ cắt $a$ tại $M’$ và $M’$ cũng là giao điểm của $a$ và $(P)$

$⇒ M ≡ M’$( Vì chỉ có duy nhất một giao điểm của đường thẳng a và (P)).

Mà M' thuộc c nên M cũng thuộc c.

$⇒ M$ thuộc b và c

Vậy hai đường thẳng $b$ và $c$ cắt nhau

$E \in BC,E \in MN \subset \left( {OMN} \right) \Rightarrow E = BC \cap \left( {OMN} \right)$ $\Rightarrow$(I) đúng.

Trong $(BCD)$ gọi $F = OE \cap BD \Rightarrow F = BD \cap \left( {OMN} \right)$ $\Rightarrow$(II) đúng.

Trong $(BCD)$ gọi $G = OE \cap CD \Rightarrow G = \left( {OMN} \right) \cap CD$ $\Rightarrow$ (III) sai.

Nếu $M$ là giao điểm của $a$ và $(P):$

Lấy mặt phẳng $(Q)$ bất kỳ chứa $a,$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường thẳng $d$

$⇒$ Giao điểm của $d$ và $a$ là $M$

Khẳng định A là đúng

Có $SC ⊂ (SAC)$

Gọi $Q$ là giao điểm của $NP$ và $AC$

$⇒ (MNP) ∩ (SAC) = MQ$

Gọi $D$ là giao $MQ$ và $SC$

$⇒ D$ là giao của $SC$ và $(MNP)$

Vậy $D \equiv I$ hay $I$ là giao điểm của $MQ$ và $SC$ (với $Q$ là giao điểm của $AC$ với $NP$)

Gọi $O = HF \cap IG$. Ta có

$O \in HF$ mà $HF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $O \in \left( {ACD} \right)$.

$O \in IG$ mà $IG \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $O \in \left( {BCD} \right)$.

Do đó $O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)$.  $\left( 1 \right)$

Mà $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$.    $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in CD$.

Vậy ba đường thẳng $CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$ đồng quy.

Dễ thấy A và C đúng.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}I,J,K \in \left( {DEF} \right)\\I,J,K \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow I,J,K \in \left( {DEF} \right) \cap \left( {ABC} \right).$ Mà giao tuyến của hai mặt phẳng là $1$ đường thẳng nên $I, J, K$ cùng thuộc một đường thẳng.

Suy ra $I, J, K$ thẳng hàng. Suy ra B đúng.

Vậy D sai.

Ta có: $\dfrac{{SM}}{{SD}} \ne \dfrac{{SN}}{{SB}} \Rightarrow$ $MN$ và $BD$ không song song.

Trong $(SBD)$ gọi $K = MN \cap BD \Rightarrow K \in BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow K = MN \cap \left( {ABCD} \right).$

Dễ thấy trong $(SAC)$ có $SO \cap CM = I.$Mà $CM \subset \left( {CMN} \right) \Rightarrow SO \cap \left( {CMN} \right) = I.$

Ta có: $\dfrac{{DM}}{{DA}} \ne \dfrac{{DG}}{{DN}}\,\,\left( {\dfrac{1}{2} \ne \dfrac{2}{3}} \right)$

$\Rightarrow$ $MG$ và $AN$ không song song với nhau.

Trong $(ADN)$ gọi $E = MG \cap AN.$ Mà $AN \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MG \cap \left( {ABC} \right) = E.$

Gọi $Q$ là trung điểm của $SD\,.$

Tam giác $SAD$ có $M,\,\,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SD$ suy ra $MQ$//$AD\,.$

Tam giác $SBC$ có $N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,\,\,SC$ suy ra $NP$//$BC\,.$

Mặt khác $AD//BC$ suy ra $MQ$//$NP$ và $MQ = NP\,\, \Rightarrow \,\,MNPQ$ là hình vuông.

Khi đó $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ đồng phẳng $\Rightarrow \,\,\left( {MNP} \right)$ cắt $SD$ tại $Q\,$ và $MNPQ$ là thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với $mp\,\,\left( {MNP} \right).$

Lại có $\dfrac{{NP}}{{BC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$.

Vậy diện tích hình vuông $MNPQ$ là ${S_{MNPQ}} = \dfrac{{{S_{ABCD}}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$

Vì $L$ là giao của $AN$ và $BD$ nên $L ∈ BD$

$⇒ L ∈ (SBD)$

Có $P ∈ SD ⇒ P ∈ (SBD)$

$\Rightarrow LP \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow KL \subset \left( {SBD} \right)$

Vì $K ∈ AM; L ∈ AN ⇒ KL ⊂ (AMN)$

Vậy $KL$ là giao tuyến của $(AMN)$ và $(SBD)$

Trong $\left( {ABN} \right)$ qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AI$ cắt $BN$ tại $J$.

Xét tam giác $MNJ$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}GI//MJ\\GN = GM\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GI = \dfrac{1}{2}.MJ\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét tam giác $BAI$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MJ//AI\\MA = MB\end{array} \right. \Rightarrow MJ = \dfrac{1}{2}.AI\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right) \Rightarrow GI = \dfrac{1}{4}.AI$

Mà $AI=GA+IG$

$\Leftrightarrow \dfrac{{GI}}{{GA}} = \dfrac{1}{3}.$