Nhị thức Niu-tơn

Số hạng tổng quát sau khi khai triển ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^k}$

Số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_{10}^5{x^5}$. Đề bài hỏi hệ số nên ta chọn C.

Bước 1: Tìm số hạng tổng quát

${\left( {{a^2} - \dfrac{1}{b}} \right)^7}$$= \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.{{\left( {{a^2}} \right)}^{7 - k}}.{{\left( { - \dfrac{1}{b}} \right)}^k}}$

Số hạng thứ $k+1$ là $C_7^k{\left( {{a^2}} \right)^{7 - k}}{\left( { - \dfrac{1}{b}} \right)^k}$

Bước 2: Tìm k và thay k tìm số hạng thứ 5.

Do đó số hạng thứ 5 ứng với $k+1=5<=>k=4$ là

$C_7^4{\left( {{a^2}} \right)^{7 - 4}}{\left( { - \dfrac{1}{b}} \right)^4} = C_7^4.{\left( {{a^2}} \right)^3}.\dfrac{1}{{{b^4}}}$$= C_7^4.{a^6}.{b^{ - 4}}$$= 35{a^6}{b^{ - 4}}$.

Do $\dfrac{1}{{{b^4}}} = {b^{ - 4}}$

Ta có ${\left( {2\sqrt[3]{x} - \dfrac{3}{{\sqrt x }}} \right)^{10}} = {\left( {2.{x^{\frac{1}{3}}} - 3.{x^{-\frac{1}{2}}}} \right)^{10}}$

Từ lý thuyết ở trên ta có số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là $C_{10}^k{.2^{10 - k}}{.3^k}.{x^{\frac{{10 - k}}{3}}}.{x^{ - \frac{k}{2}}} = C_{10}^k{.2^{10 - k}}{.3^k}.{x^{\frac{{20 - 5k}}{6}}}$.

Theo yêu cầu đề bài ta có $20 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 4$.

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4{.2^6}{.3^4} = 210.64.81 = 1088640$

Ta có số hạng tổng quát ${T_{k + 1}} = C_9^k{\left( {\sqrt 3 } \right)^{9 - k}}{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^k}$

Ta thấy bậc hai của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố, do đó để ${T_{k + 1}}$ là một số nguyên thì $\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{N}\\0 \le k \le 9\\\left( {9 - k} \right) \vdots 2\\k \vdots 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3 \Rightarrow {T_4} = C_9^3{\left( {\sqrt 3 } \right)^6}{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} = 4536\\k = 9 \Rightarrow {T_{10}} = C_9^9{\left( {\sqrt 3 } \right)^0}{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^9} = 8\end{array} \right.$

Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là ${T_4} = 4536$ và ${T_{10}} = 8$.

Ta có số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${\left( {2x + 1} \right)^{13}}$ là ${a_n} = C_{13}^n{.2^{13 - n}}.$

$\Rightarrow {a_{n - 1}} = C_{13}^{n - 1}{.2^{14 - n}},\,\,\,\left( {n = 1,2,3,...,13} \right)$

Xét bất phương trình với ẩn số $n$ ta có ${a_{n - 1}} \le {a_n} \Leftrightarrow C_{13}^{n - 1}{.2^{14 - n}} \le C_{13}^{n}{.2^{13 - n}}$

$\Leftrightarrow C_{13}^{n - 1}.\dfrac{{{2^{14 - n}}}}{{{2^{13 - n}}}} \le C_{13}^n \Leftrightarrow C_{13}^{n - 1}.2 \le C_{13}^n$

$\Leftrightarrow \dfrac{{2.13!}}{{\left( {n - 1} \right)!\left( {14 - n} \right)!}} \le \dfrac{{13!}}{{n!\left( {13 - n} \right)!}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{14 - n}} \le \dfrac{1}{n} \Leftrightarrow n \le \dfrac{{14}}{3} \notin \mathbb{N}.$

Do đó bất đẳng thức ${a_{n - 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \left\{ {1,\,\,2,\,\,3,\,\,4} \right\}$ và dấu đẳng thức không không xảy ra.

Ta được ${a_0} < {a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4}$ và ${a_4} > {a_5} > {a_6} > ... > {a_{13}}$

Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là

${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$

Nhận thấy ${\left( { - 5} \right)^k}C_{100}^k$ là hệ số của ${x^k}$ trong khai triển ${\left( {1 - 5x} \right)^{100}}$

Vì thế xét $P\left( x \right) = {\left( {1 - 5x} \right)^{100}}$, theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

$P\left( x \right) = {\left( {1 - 5x} \right)^{100}} = C_{100}^0 - C_{100}^15x + C_{100}^2{\left( {5x} \right)^2} - ... + C_{100}^{100}{\left( {5x} \right)^{100}}$

Thay $x = 1$ vào ta được:

$P\left( x \right) = {\left( 4 \right)^{100}} = C_{100}^0 - C_{100}^15 + C_{100}^2{5^2} - ... + C_{100}^{100}{5^{100}}$

Với $0 \le q \le p \le 10$ thì số hạng tổng quát của khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:

${T_p} = C_{10}^p.C_p^q.{(3{x^2})^{10 - p}}.{(x)^{p - q}}{.1^q} = C_{10}^p.C_p^q{.3^{10 - p}}.{(x)^{p - q + 20 - 2p}}$

Theo đề bài thì $p - q + 20 - 2p = 4 \Leftrightarrow p + q = 16$

Do $0 \le q \le p \le 10$ nên $(p;q) \in \left\{ {(8;8);(9;7);(10;6)} \right\}$.

Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:

$C_{10}^8.C_8^8{.3^{10 - 8}} + C_{10}^9.C_9^7{.3^{10 - 9}} + C_{10}^{10}.C_{10}^6{.3^{10 - 10}} = 1695$.

Điều kiện $n \in \mathbb{N},\,\,\,n \ge 3.$

Ta có $5C_n^{n - 1} = C_n^3 \Leftrightarrow \dfrac{{5.n!}}{{1!.\left( {n - 1} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}} \Leftrightarrow \dfrac{5}{{\left( {n - 3} \right)!\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{6.\left( {n - 3} \right)!}}$

                                      $\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 7\left( {TM} \right)\\n =  - 4\left( L \right)\end{array} \right.$

Với $n = 7$ ta có $P = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}} \right)^7}$

Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{2^{7 - k}}}}.C_7^k.{x^{14 - 3k}}$

Suy ra $14 - 3k = 5 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là ${T_4} =  - \dfrac{{35}}{{16}}{x^5}.$

Ta cần biết công thức tổng quát của ${a_k}$để thay vào điều kiện ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71$, rồi sau đó giải ra để tìm $n$. Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n} = {\left( {1 - 2x} \right)^n}$$= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( { - 2x} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 2} \right)}^k}C_n^k} {x^k}.$

Do đó ${a_k} = {\left( { - 2} \right)^k}C_n^k,\forall k \in \left\{ {0,1,2,...,n} \right\}.$

Khi đó theo giả thiết ta có:

$71 = {a_0} + {a_1} + {a_2}$$= {\left( { - 2} \right)^0}C_n^0 + {\left( { - 2} \right)^1}C_n^1 + {\left( { - 2} \right)^2}C_n^2$$= 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow {n^2} - 2n - 35 = 0 \Leftrightarrow n = 7$

Như vậy${a_5} = {\left( { - 2} \right)^5}C_7^5 =  - 672.$

Với $0 \le q \le p \le 10$ thì số hạng tổng quát của khai triển ${\left( {x + {x^2} + {x^3}} \right)^{10}}$ là:

${T_p} = C_{10}^p.C_p^q.{(x)^{10 - p}}.{({x^2})^{p - q}}.{({x^3})^q}$ $= C_{10}^p.C_p^q.{x^{10 + p + q}}$

Theo đề bài thì $10 + p + q = 13 \Leftrightarrow p + q = 3$

Do $0 \le q \le p \le 10$ nên $(p;q) \in \left\{ {(2;1);(3;0)} \right\}$.

Vậy hệ số của ${x^{13}}$ trong khai triển là: $C_{10}^2.C_2^1 + C_{10}^3.C_3^0 = 210$ và số hạng chứa $x^{13}$ là $210x^{13}$.

Ta thấy lời giải trên sai khi đã không xét hai trường hợp $k < n$; hoặc $k = n$.

Vì nếu $k = n$ thì không tồn tại $C_{n - 1}^k$.

Rất nhiều học sinh mắc sai lầm khi giải như trên, hoặc sai lầm khi giải như sau:

${S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0$.

Ta có lời giải đúng như sau:

TH1: Với $k < n$, ta áp dụng công thức $C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} = C_n^{k + 1}$, ta có:

${S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0$.

$= C_n^0 - \left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1} \right) + \left( {C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2} \right) - \left( {C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^3} \right) + ... + {\left( { - 1} \right)^k}\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right)$.

$= C_n^0 - C_{n - 1}^0 - C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^{k - 1} + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k.$

Vậy ${S_k} = {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k$ khi $k < n$.

TH2: Với $k = n$, thì ${S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0$.

Ta có ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$

Cho $x = 1$ thì A đúng.

Cho $x =  - 1$ thì B đúng.

Cho $x = 2$ thì D đúng.

Cho $x =  - 2$ thì ${\left( { - 1} \right)^n} = C_n^0 - 2C_n^1 + C_n^2{2^2} - ... + C_n^n{\left( { - 2} \right)^n}$.

Vậy C sai.

Sử dụng đẳng thức $C_n^k = C_n^{n - k}$ ta được:

$S = C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15} = C_{15}^7 + C_{15}^6 + C_{15}^5 + ... + C_{15}^0.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2S = (C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}) + (C_{15}^7 + C_{15}^6 + C_{15}^5 + ... + C_{15}^0) = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k}  = {2^{15}}\\ \Rightarrow S = {2^{14}}\end{array}$

Vậy $S = (C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}) = {2^{14}}$

Với A: Ta sẽ dùng đẳng thức$kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{S_1} = 1C_n^1 + 2C_n^2 + ... + (n - 1)C_n^{n - 1} + nC_n^n = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}}  = n(C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1}) = n{(1 + 1)^{n - 1}} = n{.2^{n - 1}}\end{array}$

Vậy A đúng.

Với B: Ta sẽ dùng đẳng thức$(k - 1)kC_n^k = (n - 1)nC_{n - 2}^{k - 2}$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{S_2} = 1.2.C_n^2 + 2.3.C_n^3 + ... + (n - 1).n.C_n^n = \sum\limits_{k = 2}^n {(k - 1)kC_n^k}  = \sum\limits_{k = 2}^n {(n - 1)nC_{n - 2}^{k - 2}} \\ = (n - 1)n(C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + ... + C_{n - 2}^{n - 3} + C_{n - 2}^{n - 2}) = (n - 1)n{.2^{n - 2}}\end{array}$

Vậy B đúng.

Với C: Ta có ${k^2}C_n^k = \left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2} + nC_{n - 1}^{k - 1}$.

Khi đó ta có: ${S_3} = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 \ldots  + {\left( {n - 1} \right)^2}C_n^{n - 1} + {n^2}C_n^n$.

$= \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} C_n^k = \sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2} + nC_{n - 1}^{k - 1}} \right]}$.

$= \left( {n - 1} \right)n\left( {C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + C_{n - 2}^2 + ... + C_{n - 2}^{n - 3} + C_{n - 2}^{n - 2}} \right)$ $+ n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)$.

$= \left( {n - 1} \right)n{2^{n - 2}} + n{2^{n - 1}} = n\left( {n + 1} \right){2^{n - 2}}.$.

Vậy C đúng.

Tính tổng ${S_4}$: Các số hạng của ${S_4}$ có dạng $\dfrac{{C_n^k}}{{k + 1}}$nên ta sẽ dùng đẳng thức $\dfrac{{C_n^k}}{{k + 1}} = \dfrac{{C_{n + 1}^{k + 1}}}{{n + 1}}$.

Khi đó ta có: ${S_4} = \dfrac{{C_n^0}}{1} + \dfrac{{C_n^1}}{2} + \dfrac{{C_n^2}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^{n - 1}}}{n} + \dfrac{{C_n^n}}{{n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{C_n^k}}{{k + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{C_{n + 1}^{k + 1}}}{{n + 1}}} }$.

$= \dfrac{1}{{n + 1}}\left( {C_{n + 1}^1 + C_{n + 1}^2 + ... + C_{n + 1}^n + C_{n + 1}^{n + 1}} \right)$ $= \dfrac{1}{{n + 1}}\left( {{2^{n + 1}} - C_{n + 1}^0} \right) = \dfrac{1}{{n + 1}}\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)$.

Từ đây ta chọn D.

Cách 1: Xét số hạng tổng quát.

$k.C_{2018}^k = k.\dfrac{{2018!}}{{k!\left( {2018 - k} \right)!}} = k.\dfrac{{2018.2017!}}{{k.\left( {k - 1} \right)!{\rm{ }}\left( {2018 - k} \right)!}} = 2018.C_{2017}^{k - 1}$.

Cho $k$ chạy từ 1 đến 2018 ta được:

$S = 2108.\left( {C_{2017}^0 + C_{2017}^1 +  \ldots  + C_{2017}^{2017}} \right) = {2018.2^{2017}}$.

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {2x} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^2}} \right)^k}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{10\, + \,k}}.$

Hệ số của ${x^{12}}$ ứng với $10+k=12\Leftrightarrow k=2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số cần tìm là $C_{10}^2{.2^8}.{\left( { - \,1} \right)^2} = C_{10}^2{.2^8}.$

+ Sử dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có

 $\begin{array}{l}C_{n + 1}^8 = C_n^8 + C_n^7\\C_n^8 = C_{n - 1}^7 + C_{n - 1}^8\\C_{n - 1}^8 = C_{n - 2}^7 + C_{n - 2}^8\\...\\C_9^8 = C_8^8 + C_8^7\\C_8^8 = C_8^8\end{array}$

Cộng vế với vế ta được $C_{n + 1}^8 + C_n^8 + C_{n - 1}^8 + ... + C_9^8 + C_8^8 = C_n^8 + C_n^7 + C_{n - 1}^8 + C_{n - 1}^7 + ... + C_8^8 + C_8^7 + C_8^8$

Thu gọn ta được $C_8^8 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8$  mà $C_8^8 = C_7^7 = 1$ nên $C_7^7 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8$

Từ đó ta có $720\left( {C_7^7 + C_8^7 + ....C_n^7} \right) = \dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10}$$\Leftrightarrow 720.C_{n + 1}^8 = \dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10} \Rightarrow 720.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{8!\left( {n - 7} \right)!}} = \dfrac{1}{{4032}}\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{56}}\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!\left( {n - 8} \right)\left( {n - 7} \right)}} = \dfrac{1}{{4032}}.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}\,\,\,\,\,\,\left( {n > 9} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {n - 7} \right)\left( {n - 8} \right) = 72 \Leftrightarrow {n^2} - 15n + 56 = 72\\ \Leftrightarrow {n^2} - 15n - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 16\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Với $n = 16$ ta có ${\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}{{\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}{x^{ - 2k}}{{\left( { - 1} \right)}^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - 3k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}} }$

Số hạng chứa ${x^7}$ ứng với $16 - 3k = 7 \Rightarrow k = 3$

Nên hệ số cần tìm là $C_{16}^3.{\left( { - 1} \right)^3} =  - 560.$

Bước 1:

Ta có : ${\left( {8{a^3} - \dfrac{b}{2}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{{\left( {8{a^3}} \right)}^{6 - k}}.{{\left( { - \dfrac{b}{2}} \right)}^k}}$

Bước 2:

Số hạng thứ $4$ ứng với $k = 3$ nên số hạng đó là

$C_6^3.{\left( {8{a^3}} \right)^{6 - 3}}.{\left( { - \dfrac{b}{2}} \right)^3} =  - C_6^3{.8^3}.{a^9}.\dfrac{{{b^3}}}{8} =  - 1280{a^9}{b^3}$.

Bước 1:

Ta có ${\left( {1 + x} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{x^k}}$ $= C_{2019}^0{x^0} + C_{2019}^1x + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}}$

Bước 2:

Với $x = 1$ ta có ${\left( {1 + 1} \right)^{2019}} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019}$

Bước 3:

Hay $C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}}.$

Bước 1:

Ta có ${\left( {{x^2} - 3x} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{10 - k}}.{{\left( { - 3x} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( { - 3} \right)}^k}.{x^{20 - k}}}$

Bước 2:

Hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển ứng với $20 - k = 16 \Leftrightarrow k = 4$.

Bước 3:

Thay $k = 4$ vào $C_{10}^k.{\left( { - 3} \right)^k}$. Hệ số cần tìm là $C_{10}^4.{\left( { - 3} \right)^4} = 17010$.