Một học sinh giải bài toán “Rút gọn biểu thức \({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k\) với $k \le n;{\rm{ }}n > 1.$” Như sau:

Bước 1: Ta áp dụng công thức \(C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} = C_n^{k + 1}\).

\({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k\).

$ = C_n^0 - \left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1} \right) + \left( {C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2} \right) - \left( {C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^3} \right) + ... + {\left( { - 1} \right)^k}\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right)$

Bước 2: Mở dấu ngoặc ta có:

${S_k} = C_n^0 - C_{n - 1}^0 - C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^3 + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^{k - 1} + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k.$

Bước 3: Vậy với mọi \(k\) thì \({S_k} = {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k\).

Kết luận nào sau đây là đúng:

Ta thấy lời giải trên sai khi đã không xét hai trường hợp \(k < n\); hoặc \(k = n\).

Vì nếu \(k = n\) thì không tồn tại \(C_{n - 1}^k\).

Rất nhiều học sinh mắc sai lầm khi giải như trên, hoặc sai lầm khi giải như sau:

\({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0\).

Ta có lời giải đúng như sau:

TH1: Với \(k < n\), ta áp dụng công thức \(C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} = C_n^{k + 1}\), ta có:

\({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0\).

$ = C_n^0 - \left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1} \right) + \left( {C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2} \right) - \left( {C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^3} \right) + ... + {\left( { - 1} \right)^k}\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right)$.

$ = C_n^0 - C_{n - 1}^0 - C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^{k - 1} + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k.$

Vậy \({S_k} = {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k\) khi \(k < n\).

TH2: Với \(k = n\), thì \({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0\).