Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức $P\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{13}} = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + ... + {a^{13}}.$

Ta có số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức \({\left( {2x + 1} \right)^{13}}\) là \({a_n} = C_{13}^n{.2^{13 - n}}.\)

\( \Rightarrow {a_{n - 1}} = C_{13}^{n - 1}{.2^{14 - n}},\,\,\,\left( {n = 1,2,3,...,13} \right)\)

Xét bất phương trình với ẩn số \(n\) ta có \({a_{n - 1}} \le {a_n} \Leftrightarrow C_{13}^{n - 1}{.2^{14 - n}} \le C_{13}^{n}{.2^{13 - n}}\)

\( \Leftrightarrow C_{13}^{n - 1}.\dfrac{{{2^{14 - n}}}}{{{2^{13 - n}}}} \le C_{13}^n \Leftrightarrow C_{13}^{n - 1}.2 \le C_{13}^n\)

$ \Leftrightarrow \dfrac{{2.13!}}{{\left( {n - 1} \right)!\left( {14 - n} \right)!}} \le \dfrac{{13!}}{{n!\left( {13 - n} \right)!}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{14 - n}} \le \dfrac{1}{n} \Leftrightarrow n \le \dfrac{{14}}{3} \notin \mathbb{N}.$

Do đó bất đẳng thức ${a_{n - 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \left\{ {1,\,\,2,\,\,3,\,\,4} \right\}$ và dấu đẳng thức không không xảy ra.

Ta được ${a_0} < {a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} $ và ${a_4} > {a_5} > {a_6} > ... > {a_{13}}$

Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là

${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$