Biến ngẫu nhiên \(X\) nhận các giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) với các xác suất tương ứng \({p_1},{p_2},...,{p_n}\) thỏa mãn:
Các xác suất \({p_1},{p_2},...,{p_n}\) thỏa mãn \({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} = 1\).
Cho biến ngẫu nhiên \(X\) có bảng phân bố xác suất dưới đây, giá trị của \({p_2}\) là:
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $P$ | $0,5$ |
$p_2$ |
$0,1$ | $0,1$ |
Ta có: \(0,5 + {p_2} + 0,1 + 0,1 = 1 \) \(\Leftrightarrow {p_2} = 1 - 0,5 - 0,1 - 0,1 = 0,3\).
Công thức tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên \(X\) là:
Công thức tính kỳ vọng \(E\left( X \right) = {p_1}{x_1} + {p_2}{x_2} + ... + {p_n}{x_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{x_i}} \).
Giá trị \(E\left( X \right)\) có thể cho ta ý niệm về:
Kỳ vọng \(E\left( X \right)\) cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của \(X\).
Cho bảng phân bố xác suất sau:
| $X$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
| $P$ | $0,3$ | $0,4$ | $0,2$ | $0,1$ |
Khi đó, kỳ vọng của biến cố là:
Ta có:
\(E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{x_i}} \) \(= 5.0,3 + 6.0,4 + 7.0,2 + 8.0,1 = 6,1\)
Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Gọi \(X\) là số con trai trong gia đình đó. Biết xác suất để sinh con trai là \(0,5\). Giá trị của \({p_1}\) trong bảng phân bố xác suất dưới đây là:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P$ | \({p_1}\) | \({p_2}\) | \({p_3}\) |
Gia đình không có con trai thì có hai con gái.
Xác suất để có con gái là \(1 - 0,5 = 0,5\).
Vì lần đầu sinh con gái và lần hai sinh con gái là hai biến cố độc lập nên ta có thể sử dụng công thức nhân xác suất.
Xác suất để gia đình đó sinh hai con gái là: \(0,5.0,5 = 0,25 = \dfrac{1}{4}\).
Vậy \({p_1} = \dfrac{1}{4}\).
Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Gọi \(X\) là số con trai trong gia đình đó. Biết xác suất để sinh con trai là \(0,5\). Kỳ vọng của biến cố \(X\) là:
Xác suất để gia đình đó có hai con gái cũng như xác suất để có hai con trai là bằng nhau, ta có:
\({p_1} = {p_3} = 0,5.0,5 = 0,25\).
Gia đình có một con trai thì người con trai có thể sinh đầu tiên hoặc sinh thứ hai nên:
Xác suất để gia đình đó có một con trai là: \({p_2} = 0,5.0,5 + 0,5.0,5 = 0,5\).
Ta có bảng:
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | \(0,25\) | \(0,5\) | \(0,25\) |
Kỳ vọng \(E\left( X \right) = 0.0,25 + 1.0,5 + 2.0,25 = 1\).
Gọi \(\mu \) là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên \(X\). Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\) là:
Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\) có kỳ vọng \(E\left( X \right) = \mu \) là:
\(V\left( X \right) = {\left( {{x_1} - \mu } \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - \mu } \right)^2}{p_2} + ... + {\left( {{x_n} - \mu } \right)^2}{p_n}\)
Công thức nào sau đây không dùng để tính phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\) có kỳ vọng \(E\left( X \right) = \mu \)?
Ta có:
\(V\left( X \right) = {\left( {{x_1} - \mu } \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - \mu } \right)^2}{p_2} + ... + {\left( {{x_n} - \mu } \right)^2}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}{p_i}} \)
Hoặc cũng có thể tính theo công thức:
\(V\left( X \right) = x_1^2{p_1} + x_2^2{p_2} + ... + x_n^2{p_n} - {\mu ^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2{p_i}} - {\mu ^2}\).
Từ đó ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng.
Phương sai có thể đại diện cho:
Phương sai \(V\left( X \right)\) cho ta ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của \(X\) xung quanh giá trị trung bình.
Cho bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên \(X\) như sau:
Phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\) là:
Ta có:
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên của \(X\) là:
\(E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{x_i}}\) \( = 5.0,3 + 6.0,4 + 7.0,2 + 8.0,1 = 6,1\)
Do đó:
\(V\left( X \right) = x_1^2{p_1} + x_2^2{p_2} + ... + x_n^2{p_n} - {\mu ^2} \) \(= {5^2}.0,3 + {6^2}.0,4 + {7^2}.0,2 + {8^2}.0,1 \) \(- 6,{1^2} = 0,89\)
Công thức nào sau đây dùng để tính độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên \(X\)?
Công thức tính độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên \(X\) là: \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} \)
Chọn công thức đúng:
Ta có: \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} \)
Mà \(V\left( X \right) = x_1^2{p_1} + x_2^2{p_2} + ... + x_n^2{p_n} - {E^2}\left( X \right)\) nên \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {x_1^2{p_1} + x_2^2{p_2} + ... + x_n^2{p_n} - {E^2}\left( X \right)} \)
Cho bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên \(X\) như sau:
Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên \(X\) là:
Ta có:
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên của \(X\) là:
\(E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{x_i}} \) \(= 5.0,3 + 6.0,4 + 7.0,2 + 8.0,1 = 6,1\)
Do đó:
\(V\left( X \right) = x_1^2{p_1} + x_2^2{p_2} + ... + x_n^2{p_n} - {\mu ^2} = {5^2}.0,3 + {6^2}.0,4 + {7^2}.0,2 + {8^2}.0,1 \) \(- 6,{1^2} = 0,89\)
\( \Rightarrow \sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} = \sqrt {0,89} \)
Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Gọi \(X\) là số con trai trong gia đình đó. Biết xác suất để sinh con trai là \(0,5\). Phương sai của biến cố \(X\) là:
Xác suất để gia đình đó có hai con gái cũng như xác suất để có hai con trai là bằng nhau, ta có:
\({p_1} = {p_3} = 0,5.0,5 = 0,25\).
Gia đình có một con trai thì người con trai có thể sinh đầu tiên hoặc sinh thứ hai nên:
Xác suất để gia đình đó có một con trai là: \({p_2} = 0,5.0,5 + 0,5.0,5 = 0,5\).
Ta có bảng:
Kỳ vọng \(E\left( X \right) = 0.0,25 + 1.0,5 + 2.0,25 = 1\).
Do đó \(V\left( X \right) = {0^2}.0,25 + {1^2}.0,5 + {2^2}.0,25 - {1^2} = 0,5\).
