Phép vị tự

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {I; - 2} \right)}}\left( M \right) = M'\\{V_{\left( {I; - 2} \right)}}\left( N \right) = N'\end{array} \right. \Rightarrow M'N' = 2MN\\M\left( {3; - 4} \right);N\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {13} \\ \Rightarrow M'N' = 2\sqrt {13} \end{array}\)

Đáp án A: Phép vị tự tâm là tâm đường tròn, tỉ số \(k =  - 1\) vẫn biến đường tròn thành chính nó nên A sai.

Đáp án B: Phép vị tự tâm là trung điểm đoạn thẳng, tỉ số vị tự \(k =  - 1\) biến đoạn thẳng thành chính nó nên B sai.

Đáp án C: Phép vị tự tâm $O$ tỉ số \(k =  - 1\) biến một elip có tâm $O$ thành chính nó nên C đúng.

Đáp án D: Phép vị tự bất kì không biến một tia đi qua tâm vị tự thành chính nó nên D sai.

Theo tính chất phép vị tự, ta có \(\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {AC} \).

Giả sử phép vị tự \({V_{\left( {O;k} \right)}}\,\,\left( {I;R} \right)\,\, \mapsto \,\,\left( {I';R} \right)\) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI} \\R' = \left| k \right|R\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI} \\\left| k \right| = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OI'}  = \overrightarrow {OI}  \Rightarrow I \equiv I'\,\,\left( {ktm} \right)\\k = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OI'}  =  - \overrightarrow {OI} \\k =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy có $1$  phép vị tự duy nhất biến \(\left( {I;R} \right)\) thành \(\left( {I';R} \right)\) là phép vị tự tâm $O$ với $O$ là trung điểm của $II'$  và tỉ số \(k =  - 1\).

Ta có $R' = \left| k \right|.R = 5.R = 5.3 = 15.$

Gọi \(M'\left( {x;y} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 9; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {IM'}  = \left( {x - 2;y - 3} \right).\)

Ta có ${V_{\left( {I, - 2} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - 2\overrightarrow {IM} $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - 2.\left( { - 9} \right)\\y - 3 =  - 2.\left( { - 1} \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {20;5} \right)$

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;2} \right).\)

Từ giả thiết, ta có $\overrightarrow {A'B'}  =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  = \left( {\dfrac{4}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right).$

Gọi $d'$  là ảnh của d qua \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}} \Rightarrow d'//d \Rightarrow \) phương trình $d'$  có dạng \(3x - 2y + c = 0\,\,\left( {c \ne 4} \right)\)

Lấy điểm \(A\left( {0;2} \right) \in d\) , gọi \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x';y'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} \)

\( \Rightarrow \left( {x';y'} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {0;2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 0\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;1} \right)\)

Mà \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( d \right) = d';{V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( A \right) = A' \Rightarrow A' \in d'\)

Thay tọa độ điểm $A'$  vào phương trình đường thẳng $d'$  ta có: \(3.0 - 2.1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 2\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng $d'$  là: \(3x - 2y + 2 = 0\)

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) bán kính \(R = 2\)

Gọi \(I'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm $I$ qua phép vị tự \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\) ta có :

\(\overrightarrow {OI'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow \left( {x';y'} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = \dfrac{1}{2}\\y' = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)

Gọi $\left( C \right)$  là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$  qua phép vị tự \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}} \Rightarrow \) đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\) và bán kính \(R' = \left| {\dfrac{1}{2}} \right|R = 1\) , do đó $\left( {C'} \right)$ có phương trình \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = 1\).

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {IM}  = \left( {4 - x;6 - y} \right),\,\,\overrightarrow {IM'}  = \left( { - 3 - x;5 - y} \right).\)

Ta có ${V_{\left( {I,\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IM} $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = \dfrac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\\5 - y = \dfrac{1}{2}\left( {6 - y} \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 10;4} \right)$

Từ giả thiết suy ra hình vuông ban đầu có độ dài cạnh bằng \(2.\)

Qua phép vị tự ${V_{\left( {I, - 2} \right)}}$ thì độ dài cạnh của hình vuông tạo thành bằng \(4\), suy ra diện tích bằng \(16.\)

Vậy diện tích tăng gấp \(4\) lần.

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)

\(\begin{array}{l}{V_{\left( {O;k} \right)}}\left( A \right) = C,\,\,\,{V_{\left( {O;k} \right)}}\left( B \right) = D\\ \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {AB}. \end{array}\)

Mà \(AB=3CD\) và \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) ngược hướng nên \(k=-\dfrac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l}d:x - 3y + 2 = 0\\d':x - 3y - 6 = 0\\V\left( {I;k} \right)d = d'\end{array}\)

Lấy điểm \(A\left( { - 2;0} \right) \in d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x;y} \right) \in d'\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA'}  = k\overrightarrow {IA} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = k\left( { - 2-3} \right)\\y + 2 = k\left( {0 + 2} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5k + 3\\y = 2k - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình \(d'\) ta có: \(\left( { - 5k + 3} \right) - 3\left( {2k - 2} \right) - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow k = \dfrac{3}{{11}}\)

\(\begin{array}{l}d:x - 2y + 6 = 0\\d':x - 2y - 6 = 0\\{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( d \right) = d'\end{array}\)

Lấy điểm \(A\left( {0;3} \right) \in d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x;y} \right) \in d'\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA'}  = k\overrightarrow {IA} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = k\left( {0 - 2} \right)\\y - 2 = k\left( {3 - 2} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2k + 2\\y = k + 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình \(d'\), ta có: \(\left( { - 2k + 2} \right) - 2\left( {k + 2} \right) - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow k =  - 2\)

Bước 1:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {8;4} \right)\) và bán kính \(R = 2\)

Bước 2:

Gọi \(I'\left( {a';b'} \right)\) là ảnh của \(I\left( {8;4} \right)\) qua \({V_{\left( {O;3} \right)}}\)

\(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua \({V_{\left( {O;3} \right)}}\), \(R'\) là bán kính của \(\left( {C'} \right)\)

Bước 3:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a' = 3.8 = 24\\b' = 3.4 = 12\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {24;12} \right)\).

Bước 4:

Phép vị tự không làm thay đổi bán kính của đường tròn nên \(R' = k.R = 3.2 = 6\)

Bước 5:

Ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = 3\) là đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {24;12} \right)\) và bán kính \(R' = 6\).

Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 12} \right)^2} = 36\).

Bước 1:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Bước 2:

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có \(IG = \dfrac{1}{3}IA\)  suy ra \(\overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IA} \) 

Bước 3:

=> Có phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(\dfrac{1}{3}\) biến \(A\) thành \(G.\)

Bước 4:

Gọi \(O'\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IO'}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IO} \)

\( \Rightarrow O'G = \dfrac{1}{3}.OA = \dfrac{R}{3}\)(tính chất của phép vị tự)

Đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) cố định=> \(\left( {O';\dfrac{R}{3}} \right)\) cố định

=> Điểm G luôn thuộc đường tròn \(\left( {O';\dfrac{R}{3}} \right)\)

Bước 5:

Mà phép vị tự tâm\(I\) tỉ số \(\dfrac{1}{3}\) biến đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) thành đường tròn \(\left( {O';\dfrac{R}{3}} \right)\)

Vậy quỹ tích điểm \(G\) là ảnh của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) qua phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(\dfrac{1}{3}\).

Bước 1:

Gọi \(d' = {V_{\left( {O;2} \right)}}\left( d \right) \Rightarrow d'\parallel d \Rightarrow \) Phương trình \(d'\) có dạng \(3x - 2y + c = 0\).

Bước 2:

Lấy \(A\left( { - 1; - 1} \right) \in d\). Gọi \(A' = {V_{\left( {O;2} \right)}} \Rightarrow \overrightarrow {OA'}  = 2\overrightarrow {OA}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - 1} \right) =  - 2\\{y_{A'}} = 2.\left( { - 1} \right) =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 2} \right)\).

Bước 3:

Vì \(A' \in d' \Rightarrow 3.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = 2\).

Vậy \(d':\,\,3x - 2y + 2 = 0\).

Đáp án A, C hiển nhiên đúng.

Đáp án D đúng vì chỉ có phép vị tự tỉ số $k = 1$ biến 1 vector thành vector bằng nó, còn phép vị tự tỉ số \(k \ne 1\) biến một vector thành một vector cùng phương với nó.

Ta có \({V_{\left( {O, - 3} \right)}}\left( A \right) = C \Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  =  - \,3\,\overrightarrow {OA} \) và \({V_{\left( {O, - 3} \right)}}\left( B \right) = D \Leftrightarrow \overrightarrow {OD}  =  - \,3\,\overrightarrow {OB} .\)

Khi đó \(\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OD}  =  - \,3\left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} } \right)\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  =  - \,3\overrightarrow {BA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  = 3\,\overrightarrow {AB} \)

Hai đường tròn đồng tâm \(I\), có \(2\) phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \( \pm \dfrac{{R'}}{R}\) biến đường tròn \(\left( {I;R} \right)\) thành \(\left( {I;R'} \right)\).