Véc tơ trong không gian

Bước 1:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Bước 2:

Khi đó O là trung điểm chung của AC và BD.

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SA}  = 2\overrightarrow {SO} ;\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SA}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \end{array}\)

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với \(A \in Ox;B \in Oy;C \in Oz\) và \(OA = OB = OC = a\)

Khi đó \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),C\left( {0;0;a} \right) \Rightarrow M\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {OM}  = \left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} + 0}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)  và \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - a;a} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Từ đó cos\(\left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {OM} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {OM} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.0 + \dfrac{a}{2}.\left( { - a} \right) + 0.a}}{{a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{ - \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{{a^2}}} =  - \dfrac{1}{2}\)

Nên góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {OM} \)  là \(120^\circ .\)

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v ) = 4.3.\cos 120^\circ  =  - 6\)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

$ \Rightarrow $ G là trung điểm của MN $ \Rightarrow \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 $ $ \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow {GD}  \ne \overrightarrow 0 $ $ \Rightarrow $B sai.

Ta có:          $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GD} $

 $ = 4\overrightarrow {OG}  + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} ) = 4\overrightarrow {OG} $ $ \Rightarrow \overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right)$$ \Rightarrow $A sai.

Khi O trùng A thì D đúng và C sai.

Giả sử, ba vectơ $\vec x,\,\,\vec y,\,\,\vec z$ đồng phẳng, khi đó $\vec x = m.\vec y + n.\vec z$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}m.\vec y = m.\vec a - m.\vec b - m.\vec c\\n.\vec z =  - \,3n.\vec b - \,2n.\vec c\end{array} \right. $ $\Rightarrow m.\vec y + n.\vec z = m.\vec a - \left( {m + 3n} \right).\vec b - \left( {m + 2n} \right).\vec c.$

Khi đó $2\vec a + \vec b = m.\vec a - \left( {m + 3n} \right).\vec b - \left( {m + 2n} \right).\vec c \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m + 3n =  - \,1\\m + 2n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n =  - \,1\end{array} \right..$

Vậy ba vectơ $\vec x,\,\,\vec y,\,\,\vec z$ đồng phẳng.

Xét đáp án A: \(\overrightarrow {A{C_1}}  + \overrightarrow {{A_1}C} \)\( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C{C_1}}  + \overrightarrow {{A_1}A}  + \overrightarrow {AC} \) \( = 2\overrightarrow {AC}  + \left( {\overrightarrow {C{C_1}}  + \overrightarrow {{A_1}A} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \) nên A đúng.

Xét đáp án B: \(\overrightarrow {A{C_1}}  + \overrightarrow {C{A_1}}  + 2\overrightarrow {{C_1}C} \) \( = \overrightarrow {A{C_1}}  + \overrightarrow {C{A_1}}  + \overrightarrow {{C_1}C}  + \overrightarrow {{C_1}C} \) \( = \left( {\overrightarrow {A{C_1}}  + \overrightarrow {{C_1}C} } \right) + \left( {\overrightarrow {C{A_1}}  + \overrightarrow {{C_1}C} } \right)\) \( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {{C_1}{A_1}}  = \overrightarrow 0 \) nên B đúng.

Xét đáp án C: Do \(\overrightarrow {A{C_1}}  + \overrightarrow {{A_1}C}  = 2\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {A{A_1}} \) nên C sai.

Xét đáp án D: \(\overrightarrow {C{A_1}}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C{A_1}}  = \overrightarrow {A{A_1}}  = \overrightarrow {C{C_1}} \) nên D đúng.

Có $\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CK}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $

Có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {{B_1}{C_1}}  + \overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {C{C_1}}  = \overrightarrow {A{C_1}}  \Rightarrow k = 1$

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {D{C_1}} $ $ = AD + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {D{D_1}} } \right)$ $ = \overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD} '\)

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

+) Với $m + n + p = 0 \Rightarrow m = n = p = 0$ suy ra $m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0$ nên chưa kết luận được ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c$ đồng phẳng.

+) Với $m + n + p \ne 0$ suy ra tồn tại ít nhất một số khác $0.$

Giả sử $m \ne 0,$ ta có $m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0 \Leftrightarrow \vec a =  - \dfrac{n}{m}.\vec b - \dfrac{p}{m}.\vec c.$

Suy ra tồn tại $n,\,\,p$ để ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c$ đồng phẳng.

${\left( {\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SA} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} $

$ = {6^2} + {4^2} + 2( - 12) = 28$

Gọi \(M, N\) là trung điểm của \(BC, AD\)

$ \Rightarrow $ \(G\) là trung điểm \(MN\). Gọi \(H \) là hình chiếu của \(N\) lên \(MD\)

$ \Rightarrow $ NH là  đường trung bình của $\Delta AOD$ và \(OG \) là đường trung bình của $\Delta MNH$

$ \Rightarrow OG = \dfrac{1}{2}NH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AO$ $ \Rightarrow OG = \dfrac{1}{2}NH = \dfrac{1}{4}.AO$ $ \Rightarrow \overrightarrow {GA}  = 3\overrightarrow {OG} $

Đáp án A: \(\overrightarrow {{B_1}B}  + \overrightarrow {{B_1}A{}_1}  + \overrightarrow {{B_1}{C_1}}  = \overrightarrow {{B_1}D}  \ne \overrightarrow {{B_1}M} \) nên A sai.

Đáp án B: Ta có \(\overrightarrow {{C_1}M}  = \overrightarrow {{C_1}{D_1}}  + \overrightarrow {{{\rm{D}}_1}{\rm{D}}}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {{C_1}{D_1}}  + \overrightarrow {{C_1}C}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {{C_1}{B_1}} \) nên B đúng và C sai.

Đáp án D: \(\overrightarrow {B{B_1}}  + \overrightarrow {{B_1}{A_1}}  + \overrightarrow {{B_1}C{}_1} \) \( = \overrightarrow {B{A_1}}  + \overrightarrow {{A_1}{D_1}}  = \overrightarrow {B{D_1}}  \ne 2\overrightarrow {{B_1}D} \) nên D sai.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD

$ \Rightarrow $ Ba  vec tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN} $ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ này đồng phẳng  $ \Rightarrow $ A đúng

Ba  vec tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} $ không đồng phẳng $ \Rightarrow $ B đúng

Ba  vec tơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {MN} $ có giá không thể song song với mặt phẳng nào  $ \Rightarrow $ C sai  

Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD

$\left\{ \begin{array}{l}NE//AB,NE = \dfrac{1}{3}AB\\MF//AB,MF = \dfrac{1}{3}AB\end{array} \right. \Rightarrow NE//MF,NE//MF$

$ \Rightarrow $ NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ $\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DC} ,\,\overrightarrow {MN} $ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MFNE) $ \Rightarrow $$\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DC} ,\,\overrightarrow {MN} $ đồng phẳng.

A đúng.

Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BD\).

Khi đó \(MN//\left( {PIQK} \right),\) \(DC//\left( {PIQK} \right),\) \(PQ \subset \left( {PIQK} \right)\) nên các véc tơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {PQ} \) đồng phẳng.

B đúng.

Ta có: \(AB//\left( {PIQK} \right),\) \(DC//\left( {PIQK} \right),\) \(PQ \subset \left( {PIQK} \right)\) nên các véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {PQ} \) đồng phẳng.

C đúng.

Lại có: \(AC,DC \subset \left( {ADC} \right)\) nhưng \(MN \cap \left( {ACD} \right) = M\) nên ba véc tơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN} \) không có giá song hoặc nằm trên mặt phẳng nào.

Vậy ba véc tơ này không đồng phẳng hay D sai.

Ta có:

$\begin{array}{l}(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) = {90^0}\\(\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {D{D_1}} ) = (\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) = {135^0}\\(\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{A_1}B} ) = (\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{D_1}C} ) = {90^0}\end{array}$

$ \Rightarrow (\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) + (\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {D{D_1}} ) + (\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{A_1}B} ) $ $= {90^0} + {135^0} + {90^0} = {315^0}$

ACC’A’ và ABCD là hình bình hành nên: \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A^\prime }}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {A{A^\prime }} \)

Phương án A: sai vì chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó

Phương án B: sai vì ba véc tơ cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a  = k.\overrightarrow b  = l.\overrightarrow c \)

Phương án C sai vì điều kiện cần và đủ để ba véc tơ đồng \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng là có các số \(m,n\) sao cho \(\overrightarrow c  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b \) (với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương).

Vậy chọn D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

$ \Rightarrow $ G là trung điểm của MN $ \Rightarrow \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 $ nên B đúng

Ta có: $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GD} $

 $ = 4\overrightarrow {OG}  + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} ) = 4\overrightarrow {OG} $ nên A đúng

Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án sai là C