Véc tơ trong không gian

Ta thấy $\overrightarrow y  =  - 2\overrightarrow x $ nên $\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y $  cùng phương.

Do đó ba véc tơ $\overrightarrow x , \overrightarrow y, \overrightarrow z$ đồng phẳng.

D sai.

Có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {{B_1}{C_1}}  + \overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}}$ $  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {C{C_1}}  = \overrightarrow {A{C_1}}$ $  \Rightarrow k = 1$

Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(AB\) nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {OM}  = k.\overrightarrow {OA}  + \left( {1 - k} \right).\overrightarrow {OB} \).

Chứng minh:

Ta có: \(M \in AB \Leftrightarrow \overrightarrow {MB}  = k\overrightarrow {AB} \)

Xen điểm \(O\) ta được: \(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM}  = k\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right)\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OB}  - k\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right)\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = k\overrightarrow {OA}  + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OB} \).

Vậy C đúng.

Với \(k = 1\) ta có: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + 1.\left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {C'D} } \right) \) \(= \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {C'B}  \) \(= \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C'A'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:  $\overrightarrow b  - \overrightarrow c  + \overrightarrow d  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 $            

Ba véc tơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nên đáp án A sai.

Phương án A:

$\overrightarrow {{\rm{AD}}}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {BD}  \ne \overrightarrow 0 $ nên A sai

Phương án B:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {\rm{6}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{\dfrac{a}{2}^2}$ nên B sai

Phương án C: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} ) = 0 \Leftrightarrow {\overrightarrow {AC} ^2} = 0$ nên C sai.

Phương án D: Do tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AB \bot CD\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}.\left( { - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} \\ =  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD}  =  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d \end{array}\)

A.Đúng vì:  \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

B. Đúng vì: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC} } \right)\)\( = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NC} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \)

C.Đúng vì:  \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {AN}  + 2\overrightarrow {BN}  = 2\left( {\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {BN} } \right) =  - 2\left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB} } \right) =  - 4\overrightarrow {NM} \)

Vậy D sai.

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\). Tam giác đều \(BCD\) nên \(BN \bot CD\). Tam giác \(ACD\)cân tại \(A\) nên \(AN \bot CD\) ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {NB} } \right).\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {CD}  = 0 \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = 0$

A. Sai vì \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow B \equiv C\) (Vô lí)

B. Sai vì: Gọi \(O\) và \(O'\) theo thứ tự là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \) và \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {SO}  = \overrightarrow {SO'}  \Leftrightarrow O \equiv O'\) điều này không đúng nếu \(ABCD\) không phải là hình bình hành.

C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

D. sai vì: Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Khi đó:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0
\end{array}$

Hay \(O\) là trung điểm \(MN\). Điều này chưa chắc đúng nên D sai.

Ta có \(MO{\rm{//}}\left( {CDA'B'} \right);\)

\(AB//A'B' \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {CDA'B'} \right),\)

\(B'C\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {CDA'B'} \right)\) nên các vecto \(\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {B'C} \) dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng \(\left( {CDA'B'} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} \\\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN}  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Vậy ba vecto $\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN} $ đồng phẳng.

Qua \(M\) vẽ mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với \(AD\) và \(BC\).

\(\left( \alpha  \right)\)cắt \(AC\) tại \(E\), \(BD\) tại \(F\) và \(CD\) tại \(N\). Ta có \(MF{\rm{//}}EN{\rm{//}}AD\).

Các vecto \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} \) có giá song song hay nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên đồng phẳng.

Ta có: \(\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{{BF}}{{BD}} = \dfrac{{BM}}{{BA}} = \dfrac{2}{3}\)(Ta – let) nên \(\overrightarrow {CN}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CD} \).

Vậy \(k = \dfrac{2}{3}\).

$\alpha  = (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DC'} ) = (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB'} ) = {60^0}$

(Vì tam giác \(AB'C\) đều cạnh $AB'=B'C=AC $ đều là các đường chéo của các hình vuông cạnh bằng nhau)

$\beta  = (\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {B'B} ) = (\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {A'A} ) $ $= 180^0-45^0={135^0}$

$\gamma  = (\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} ) = (\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {A'A} ) = {180^0}$

$ \Rightarrow \alpha  + \beta  + \gamma  = {60^0} + {135^0} + {180^0} = {375^0}$

Xét phương án A có: $\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AA'}  = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|{\rm{cos4}}{{\rm{5}}^0} = {a^2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{c^2} = M{N^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} } \right)^2} \\ = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {BN} ^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BN} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BN} \\ = A{M^2} + A{B^2} + B{N^2} + 2.0 + 2.0 + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BN} \\= A{M^2} + A{B^2} + B{N^2} - 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \\ = A{B^2} + A{M^2} + B{N^2} - 2AM.BN.\cos \varphi \end{array}$

$ \ge A{B^2} + 2AM.BN - 2AM.BN\cos \varphi $

$ = A{B^2} + 2AM.BN.(1 - \cos \varphi {\rm{)}} $

$\Rightarrow AM.BN \le \dfrac{{{c^2} - A{B^2}}}{{2(1 - \cos \varphi )}}$

Vậy biểu thức $AM.BN$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{{c^2} - A{B^2}}}{{2(1 - \cos \varphi )}}$

Đặt  $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {A{A_1}}  = \overrightarrow c $  và \(\overrightarrow {BN}  = x\overrightarrow {B{D_1}} ;\overrightarrow {CP}  = y\overrightarrow {C{C_1}}  = y\overrightarrow c \).

Ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {MN}  = \alpha .\overrightarrow {NP} \left( 1 \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} \)

\(\begin{array}{l} =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow b  + \overrightarrow a  + x\overrightarrow {B{D_1}} \\ =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow b  + \overrightarrow a  + x\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {B{B_1}} } \right)\\ =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow b  + \overrightarrow a  + x\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) \\= \left( {1 - x} \right)\overrightarrow a  + \left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)\overrightarrow b  + x\overrightarrow c {\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CP}  \\=  - x\overrightarrow {B{D_1}}  + \overrightarrow b  + y\overrightarrow c  \\=  - x\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right) + \overrightarrow b  + y\overrightarrow c \\ \Rightarrow \overrightarrow {NP}  = x\overrightarrow a  + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow b  + \left( {y - x} \right)\overrightarrow c {\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array}\)

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 - x = \alpha x\\x - \dfrac{1}{3} = \alpha \left( {1 - x} \right)\\x = \alpha \left( {y - x} \right)\end{array} \right.\) . Giải hệ ta được \(\alpha  = \dfrac{2}{3},x = \dfrac{3}{5},y = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(\dfrac{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NP} } \right|}} = \dfrac{2}{3}\).

$ABCD$ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\(ACC'A'\) là hình bình hành \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)

\(\vec a\vec b = |\vec a||\vec b|\cos (\vec a,\vec b)\)