Véc tơ trong không gian

Ta thấy $\overrightarrow y  =  - 2\overrightarrow x$ nên $\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y$  cùng phương.

Do đó ba véc tơ $\overrightarrow x , \overrightarrow y, \overrightarrow z$ đồng phẳng.

D sai.

Có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {{B_1}{C_1}}  + \overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}}$ $= \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {C{C_1}}  = \overrightarrow {A{C_1}}$ $\Rightarrow k = 1$

Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ nếu và chỉ nếu $\overrightarrow {OM}  = k.\overrightarrow {OA}  + \left( {1 - k} \right).\overrightarrow {OB}$.

Chứng minh:

Ta có: $M \in AB \Leftrightarrow \overrightarrow {MB}  = k\overrightarrow {AB}$

Xen điểm $O$ ta được: $\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM}  = k\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right)$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OB}  - k\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right)$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = k\overrightarrow {OA}  + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OB}$.

Vậy C đúng.

Với $k = 1$ ta có: $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + 1.\left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {C'D} } \right)$ $= \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {C'B}$ $= \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C'A'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0$

Ta có:  $\overrightarrow b  - \overrightarrow c  + \overrightarrow d  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0$            

Ba véc tơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nên đáp án A sai.

Phương án A:

$\overrightarrow {{\rm{AD}}}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {BD}  \ne \overrightarrow 0$ nên A sai

Phương án B:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {\rm{6}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{\dfrac{a}{2}^2}$ nên B sai

Phương án C: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} ) = 0 \Leftrightarrow {\overrightarrow {AC} ^2} = 0$ nên C sai.

Phương án D: Do tứ diện $ABCD$ đều nên $AB \bot CD$ hay $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}.\left( { - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} \\ =  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD}  =  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d \end{array}$

A.Đúng vì:  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}$

B. Đúng vì: $\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC} } \right)$$= 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NC} } \right) = 2\overrightarrow {MN}$

C.Đúng vì:  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {AN}  + 2\overrightarrow {BN}  = 2\left( {\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {BN} } \right) =  - 2\left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB} } \right) =  - 4\overrightarrow {NM}$

Vậy D sai.

Gọi $N$ là trung điểm của $CD$. Tam giác đều $BCD$ nên $BN \bot CD$. Tam giác $ACD$cân tại $A$ nên $AN \bot CD$ ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {NB} } \right).\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {CD}  = 0 \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = 0$

A. Sai vì $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow B \equiv C$ (Vô lí)

B. Sai vì: Gọi $O$ và $O'$ theo thứ tự là trung điểm của $AC$ và $BD$. Ta có

$\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO}$ và $\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {SO}  = \overrightarrow {SO'}  \Leftrightarrow O \equiv O'$ điều này không đúng nếu $ABCD$ không phải là hình bình hành.

C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

D. sai vì: Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \\ \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0 \end{array}$

Hay $O$ là trung điểm $MN$. Điều này chưa chắc đúng nên D sai.

Ta có $MO{\rm{//}}\left( {CDA'B'} \right);$

$AB//A'B' \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {CDA'B'} \right),$

$B'C$ nằm trong mặt phẳng $\left( {CDA'B'} \right)$ nên các vecto $\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {B'C}$ dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng $\left( {CDA'B'} \right)$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} \\\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN}  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \end{array}$

Vậy ba vecto $\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN}$ đồng phẳng.

Qua $M$ vẽ mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với $AD$ và $BC$.

$\left( \alpha  \right)$cắt $AC$ tại $E$, $BD$ tại $F$ và $CD$ tại $N$. Ta có $MF{\rm{//}}EN{\rm{//}}AD$.

Các vecto $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC}$ có giá song song hay nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ nên đồng phẳng.

Ta có: $\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{{BF}}{{BD}} = \dfrac{{BM}}{{BA}} = \dfrac{2}{3}$(Ta – let) nên $\overrightarrow {CN}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CD}$.

Vậy $k = \dfrac{2}{3}$.

$\alpha  = (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DC'} ) = (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB'} ) = {60^0}$

(Vì tam giác $AB'C$ đều cạnh $AB'=B'C=AC$ đều là các đường chéo của các hình vuông cạnh bằng nhau)

$\beta  = (\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {B'B} ) = (\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {A'A} )$ $= 180^0-45^0={135^0}$

$\gamma  = (\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} ) = (\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {A'A} ) = {180^0}$

$\Rightarrow \alpha  + \beta  + \gamma  = {60^0} + {135^0} + {180^0} = {375^0}$

Xét phương án A có: $\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AA'}  = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|{\rm{cos4}}{{\rm{5}}^0} = {a^2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{c^2} = M{N^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} } \right)^2} \\ = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {BN} ^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BN} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BN} \\ = A{M^2} + A{B^2} + B{N^2} + 2.0 + 2.0 + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BN} \\= A{M^2} + A{B^2} + B{N^2} - 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \\ = A{B^2} + A{M^2} + B{N^2} - 2AM.BN.\cos \varphi \end{array}$

$\ge A{B^2} + 2AM.BN - 2AM.BN\cos \varphi$

$= A{B^2} + 2AM.BN.(1 - \cos \varphi {\rm{)}}$

$\Rightarrow AM.BN \le \dfrac{{{c^2} - A{B^2}}}{{2(1 - \cos \varphi )}}$

Vậy biểu thức $AM.BN$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{{c^2} - A{B^2}}}{{2(1 - \cos \varphi )}}$

Đặt  $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {A{A_1}}  = \overrightarrow c$  và $\overrightarrow {BN}  = x\overrightarrow {B{D_1}} ;\overrightarrow {CP}  = y\overrightarrow {C{C_1}}  = y\overrightarrow c$.

Ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {MN}  = \alpha .\overrightarrow {NP} \left( 1 \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}$

$\begin{array}{l} =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow b  + \overrightarrow a  + x\overrightarrow {B{D_1}} \\ =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow b  + \overrightarrow a  + x\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {B{B_1}} } \right)\\ =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow b  + \overrightarrow a  + x\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) \\= \left( {1 - x} \right)\overrightarrow a  + \left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)\overrightarrow b  + x\overrightarrow c {\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}$

Ta lại có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CP}  \\=  - x\overrightarrow {B{D_1}}  + \overrightarrow b  + y\overrightarrow c  \\=  - x\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right) + \overrightarrow b  + y\overrightarrow c \\ \Rightarrow \overrightarrow {NP}  = x\overrightarrow a  + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow b  + \left( {y - x} \right)\overrightarrow c {\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array}$

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}1 - x = \alpha x\\x - \dfrac{1}{3} = \alpha \left( {1 - x} \right)\\x = \alpha \left( {y - x} \right)\end{array} \right.$ . Giải hệ ta được $\alpha  = \dfrac{2}{3},x = \dfrac{3}{5},y = \dfrac{3}{2}$.

Vậy $\dfrac{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NP} } \right|}} = \dfrac{2}{3}$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$

$ACC'A'$ là hình bình hành $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'}$

$\vec a\vec b = |\vec a||\vec b|\cos (\vec a,\vec b)$