Phép đồng dạng

Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\).

Với hai hình chữ nhật bất kỳ ta chọn từng cặp cạnh tương ứng khi đó tỉ lệ giữa chúng chưa chắc đã bằng nhau.

Vì vậy không phải lúc nào cũng tồn tại phép đồng dạng biến hình chữ nhật này thành hình chữ nhật kia

Vì phép quay là phép đồng dạng mà phép quay với góc quay \(\alpha  \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)\) thì không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Khi \(k = 1\) phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên là phép dời hình.

Mệnh đề (I) sai vì nếu \(k < 0\) thì phép đồng dạng có tỉ số \(\left| k \right|\).

Mệnh đề (II) sai vì phép đồng dạng tỉ số \(k \ne 1\) không phải phép dời hình.

Mệnh đề (III) đúng.

Theo tính chất phép đồng dạng thì \({A_1}{M_1}\) là đường trung tuyến của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\), theo giả thiết \({A_1}{M_1}\) lại là đường cao nên \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác cân tại \({A_1}\). Vì vậy \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) cân tại \({A_1}\).

Qua phép đồng dạng tỉ số \(k = 3\) ta được các cạnh tương ứng của hình chữ nhật là $12$  và $15$ .

\( \Rightarrow \) Diện tích của hình chữ nhật ảnh là: $12.15 = 180$.

Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau nên \(k\) không thể là tỉ số hai góc tương ứng.

Ta có:

\({{\rm{D}}_I}:HICD \mapsto KIAB;\)

\({V_{\left( {C,\frac{1}{2}} \right)}}{\rm{:}}KIAB{\rm{ }} \mapsto LJIK\)

Do đó ta chọn đáp án B

Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các cạnh nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ thì \({A_1}{B_1} = 3AB = 6\)

Tam giác đều $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bằng $6 \Rightarrow {S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 $.

Ta có:

$\begin{array}{l}{Q_{\left( {H, - {{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = E;{V_{\left( {H;2} \right)}}\left( E \right) = A\\{Q_{\left( {H, - {{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = F;{V_{\left( {H;2} \right)}}\left( F \right) = C\end{array}$

Do đó, nếu ta thực hiện liên tiếp hai phép biến hình là phép quay tâm \(H\) góc quay \( - {90^0}\) và phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\) ta sẽ được phép đồng dạng tỉ số \(k = 2\) biến tam giác \(\Delta HBA\) thành tam giác \(\Delta HAC\).

Ta có \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OM}  \Rightarrow M'\left( {1;2} \right)\)

\({Q_{\left( {O; - 90^\circ } \right)}}\left( {M'} \right) = M''\left( {x'';y''} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = x'\cos \alpha  - y'\sin \alpha \\y'' = x'\sin \alpha  + y'\cos \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = y' = 2\\y'' =  - x' =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M''\left( {2; - 1} \right).\)

Ta có: \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( d \right) = d' \Rightarrow d'//d\)  hoặc \(d' \equiv d\).

\( \Rightarrow d'\) có dạng: \(2x - y + m = 0\)

Chọn \(N\left( {1;2} \right) \in d:{V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( N \right) = N'\left( { - 2; - 4} \right) \in d' \Rightarrow  - 4 + 4 + m = 0 \Rightarrow m = 0\)

\( \Rightarrow \)  Phương trình đường thẳng \(d':2x - y = 0\)

Qua phép đối xứng trục \(Oy\): \({D_{oy}}\left( {d'} \right) = d''\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}M(x,y) \in d'\\ \Rightarrow {D_{Oy}}(M) = M'(x',y') \in d''\end{array}\\\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x' =  - x}\\{y' = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - x'}\\{y = y'}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2( - x') - y' = 0\end{array}\end{array}\)

Suy ra phương trình ảnh \(d''\) cần tìm là: \( - 2x - y = 0\)

Gọi \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( {\left( C \right)} \right) = \left( {C'} \right)\) nên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R' = 1\) .

Ta lại có \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( {\left( {C'} \right)} \right) = \left( {C''} \right)\) có bán kính \(R'' = 1\) và tâm \(I''\left( {x'';y''} \right)\) được xác định \(\left\{ \begin{array}{l}x'' =  - y' =  - 1\\y'' = x' = 1\end{array} \right. \Rightarrow I''\left( { - 1;1} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C''} \right)\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).