Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) và phép quay tâm \(O\) góc quay \({90^0}\) sẽ biến \(\left( C \right)\) thành đường tròn nào sau đây?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( {\left( C \right)} \right) = \left( {C'} \right)\) nên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R' = 1\) .
Ta lại có \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( {\left( {C'} \right)} \right) = \left( {C''} \right)\) có bán kính \(R'' = 1\) và tâm \(I''\left( {x'';y''} \right)\) được xác định \(\left\{ \begin{array}{l}x'' = - y' = - 1\\y'' = x' = 1\end{array} \right. \Rightarrow I''\left( { - 1;1} \right)\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C''} \right)\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng định nghĩa phép vị tự để xác định tâm đường tròn mới: \(\overrightarrow {OI'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OI} \)
- Sử dụng tính chất phép vị tự: biến đường tròn thành đường tròn bán kính \(R' = \left| k \right|.R\)
- Sử dụng tính chất phép quay: biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
