Phép quay

Câu 1 Trắc nghiệm

Cho tam giác đều tâm $O.$ Với giá trị nào dưới đây của $\varphi $ thì phép quay ${Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}$ biến tam giác đều thành chính nó?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Các góc quay để biến tam giác đều thành chính nó là \(0;\dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{{4\pi }}{3};2\pi .\)

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho tam giác đều tâm $O.$ Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$ góc $\alpha $ với $0 \le \alpha  < 2\pi $, biến tam giác trên thành chính nó?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Do $0 \le \alpha  < 2\pi $ nên ta có các góc quay \(0;{\rm{ }}\dfrac{{2\pi }}{3};{\rm{ }}\dfrac{{4\pi }}{3}.\)

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho phép quay \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\) biến điểm \(A\) thành điểm \(A'\) và biến điểm \(M\) thành điểm \(M'.\) Mệnh đề nào sau đây là sai?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Vì với góc quay khác \(k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {A'M'} \) không cùng phương \( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \ne \overrightarrow {A'M'} .\)

Câu 4 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A\left( {3;0} \right)$. Tìm tọa độ điểm $A'$ là ảnh của điểm $A$ qua phép quay tâm $O\left( {0;0} \right)$ góc quay \(\dfrac{\pi }{2}.\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Gọi $A'\left( {x;y} \right).$ Ta có ${Q_{\left( {O,\dfrac{\pi }{2}} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = OA'\\\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OA'} } \right) = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right..$

Vì $A\left( {3;0} \right) \in Ox \Rightarrow A'\left( {0;y} \right) \in Oy$ là ảnh của \(A\) qua phép quay tâm \(O\) góc quay \(\dfrac{\pi }{2}\).

Mà $OA = OA' \Rightarrow \left| y \right| = 3.$

Do góc quay $\varphi  = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow y > 0$.

Vậy $A'\left( {0;3} \right)$.

Câu 5 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép quay tâm \(O\) biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right).\) Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Từ giả thiết, kết hợp với hình vẽ ta thấy góc quay là \(\dfrac{\pi }{2}\).

Khi đó phép quay tâm \(O\) góc quay \(\dfrac{\pi }{2}\) biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm \(M'\left( {1;1} \right).\)

Câu 6 Trắc nghiệm

Cho hình vuông tâm $O.$ Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$ góc $\alpha $ với $0 \le \alpha  < 2\pi $, biến hình vuông trên thành chính nó?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Do $0 \le \alpha  < 2\pi $ nên ta có các góc quay \(0;\dfrac{\pi }{2};\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}.\)

Câu 7 Trắc nghiệm

Cho hình chữ nhật tâm $O.$ Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$ góc $\alpha $ với $0 \le \alpha  < 2\pi $, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Do $0 \le \alpha  < 2\pi $ nên ta có các góc quay \(0;\pi .\)

Câu 8 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có phương trình lần lượt là \(4x + 3y + 5 = 0\) và \(x + 7y - 4 = 0.\) Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay \(\varphi \) \(\left( {0 \le \varphi  \le {{180}^0}} \right)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Đường thẳng \(a:4x + 3y + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_a}}  = \left( {4;3} \right).\)

Đường thẳng \(b:x + 7y - 4 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_b}}  = \left( {1;7} \right).\)

Góc \(\alpha \) là góc tạo bởi \(a\) và \(b\) ta có

\(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_a}} ,\overrightarrow {{n_b}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {4.1 + 3.7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {7^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha  = {45^0}.\)

Vậy \(\varphi  = {45^0}.\)

Câu 9 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M\left( {2;0} \right)$ và $N\left( {0;2} \right).$ Phép quay tâm $O$ biến điểm $M$ thành điểm $N$, khi đó góc quay của nó là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có $M$ thuộc tia $Ox$, \(N\) thuộc tia $Oy$$ \Rightarrow \varphi  = 90^\circ .$

Câu 10 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và góc tại \(A\) bằng \({60^0}\) (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều \(ACD.\) Ảnh của cạnh \(BC\) qua phép quay tâm \(A\) góc quay \({60^0}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Từ giả thiết suy ra \(ABC\) là nữa tam giác đều, do đó \(AC = 2AB.\)

Xép phép quay tâm \(A\) góc quay \({60^0}\), ta có:

\( \bullet \) Biến \(B\) thành \(K;\)

\( \bullet \) Biến \(C\) thành \(D.\)

Vậy ảnh của \(BC\) là \(KD.\)

Câu 11 Trắc nghiệm

Cho hai đường thẳng bất kỳ \(d\) và \(d'\). Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng.

Câu 13 Trắc nghiệm

Cho hình thoi \(ABCD\) có góc \(\widehat {ABC} = {60^0}\) (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh \(CD\) qua phép quay \({Q_{\left( {A,{{60}^0}} \right)}}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Xét phép quay tâm \(A\) góc quay \({60^0}:\)

\( \bullet \) Biến \(C\) thành \(B;\)

\( \bullet \) Biến \(D\) thành \(C.\)

Vậy ảnh của \(CD\) là \(BC.\)

Câu 14 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm \(O\), góc quay \(\alpha  = k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha  = k2\pi \) biến một điểm bất kì thành chính nó.

Trên mặt phẳng có vô số điểm và vô số điểm đó đều biến thành chính nó qua phép quay trên.

Vậy có vô số điểm thỏa mãn bài toán.

Câu 15 Trắc nghiệm

Gọi \(I\) là tâm ngũ giác đều \(ABCDE\) (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây là sai?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Bước 1:

Vì \(ABCDE\) là ngũ giác đều tâm \(I\)  nên \(IA = IB = IC = ID = IE\) và \(\widehat {CID} = \widehat {DIE} = \widehat {EIA} = \widehat {AIB} = \widehat {BIC}\)\( = \dfrac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ \)

Bước 2:

Từ đó ta có \({Q_{\left( {I;144^\circ } \right)}}\left( C \right) = E;{Q_{\left( {I;144^\circ } \right)}}\left( D \right) = A\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {I;144^\circ } \right)}}\left( {CD} \right) = EA\)  nên A đúng

\({Q_{\left( {I;72^\circ } \right)}}\left( A \right) = B;{Q_{\left( {I;72^\circ } \right)}}\left( B \right) = C\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {I;72^\circ } \right)}}\left( {AB} \right) = BC\) nên B đúng.

\({Q_{\left( {I;72^\circ } \right)}}\left( A \right) = B;{Q_{\left( {I;72^\circ } \right)}}\left( E \right) = A\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {I;72^\circ } \right)}}\left( {AE} \right) = BA\) nên C đúng.

\({Q_{\left( {I;144^\circ } \right)}}\left( B \right) = D;{Q_{\left( {I;144^\circ } \right)}}\left( C \right) = E\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {I;144^\circ } \right)}}\left( {BC} \right) = DE\) nên D sai.

Câu 16 Trắc nghiệm

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x - y + 1 = 0\). Tìm phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép quay \(Q\left( {O; - {{90}^0}} \right)\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Bước 1:

Ta có \(\left( d \right):\,\,3x - y + 1 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 1} \right)\).

Bước 2:

Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in d\); Phép quay \({Q_{\left( {O; - 90^\circ } \right)}}\left( M \right) = M'\left( {a;b} \right)\)

Bước 3:

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left( {0;1} \right);\,\,\overrightarrow {OM'} \left( {a;b} \right)\)

Bước 4:

Phép quay \({Q_{\left( {O; - 90^\circ } \right)}}\left( d \right) = d'\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_{d'}}}  = 0\\OM' = OM = 1\\\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM'}  = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{d'}}} \left( {1;3} \right)\\{a^2} + {b^2} = 1\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{d'}}} \left( {1;3} \right)\\b = 0\\a = 1(do\alpha  =  - 90^\circ )\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{d'}}} \left( {1;3} \right)\\M'\left( {1;0} \right)\end{array} \right.\)

Bước 5:

Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) là \(x + 3y - 1 = 0.\)

Câu 17 Trắc nghiệm

Cho tam giác $ABC$ đều với trọng tâm $G$. Phép quay tâm $G$ với góc nào dưới đây biến tam giác $ABC$ thành chính nó?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta thấy phép quay tâm $G$ góc \({120^0}\) biến điểm $A$ thành $B$ , biến điểm $B$ thành $C$ và biến điểm $C$ thành $A$, do đó phép quay tâm $G$ góc \({120^0}\) biến tam giác $ABC$ thành chính nó.

Câu 18 Trắc nghiệm

Cho phép quay \(Q\left( {O;\alpha } \right)\) biến điểm $A$ thành điểm $M$ và các khẳng định sau:

a) $O$ cách đều $A$ và $M$

b) $O$ thuộc đường tròn đường kính $AM$.

c) Góc lượng giác \((OA,OM) = \alpha \)

Số khẳng định đúng là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Phép quay tâm $O$ góc \(\alpha \) biến điểm $A$ thành điểm $M$ khi và chỉ khi $OA=OM$ và góc lượng giác $(OA,OM)=\alpha $

Vậy khẳng định a) và c) đúng, khẳng định b) sai vì \(O\) là tâm đường tròn đi qua hai điểm $A,M$, chưa chắc $AM$ là đường kính của đường tròn ấy.

Câu 19 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Hỏi trong bốn điểm được cho ở các phương án dưới đây, điểm nào là ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ , góc \({45^0}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Gọi điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {1;1} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \({45^0}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = \cos {45^0} - \sin {45^0} = 0\\y' = \sin {45^0} + \cos {45^0} = \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {0;\sqrt 2 } \right) \equiv B\)

Câu 20 Trắc nghiệm

Cho hình vuông tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$, góc quay \(\alpha \,\,\left( {0 < \alpha  \le 360^0} \right)\) biến hình vuông đã cho thành chính nó.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

$\begin{array}{l}
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( C \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( D \right) = C\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( C \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( D \right) = B\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( C \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( D \right) = A\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( C \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( D \right) = D\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD
\end{array}$

Vậy có 4 phép quay cần tìm.