Cấp số nhân

Ta có: ${u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{15}}{3} = 5$.

Bước 1:

Gọi $x,y,z(\;{\rm{cm}};x,y,z > 0)$ số đo ba cạnh của hình hộp chữ nhật.

Theo giả thiết ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{y = x.q}\\{z = x.{q^2}}\end{array}\quad (q > 0)} \right.$.

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là $V = x.y.z = {x^3} \cdot {q^3} = 125$$\Rightarrow x.q = 5$

Bước 2: Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

$\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2(x.y + y.z + z.x)\\ = 2{x^2} \cdot q + 2{x^2} \cdot {q^2} + 2{x^2} \cdot {q^3}\\ = 150\end{array}$

$\Rightarrow x = y = z = 5$

Suy ra tổng của ba kích thước này là $5 + 5 + 5 = 15(\;{\rm{cm}})$.

Ta có: ${u_2} = {u_1}.q \Rightarrow q = \dfrac{{10}}{2} = 5$

Cấp số nhân: $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16;\,\,32; \ldots$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\q =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\{u_2} = {u_1}q = 10\\{u_3} = {u_2}q =  - 50\\{u_4} = {u_3}q = 250\end{array} \right.$

Chọn B.

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} =  - 8 = {u_1}q = 2q\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q =  - 4\\{S_5} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}}}{{1 + 4}} = 410\\{S_6} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} \right)}^6}}}{{1 + 4}} =  - 1638\\{u_5} = {u_1}{q^4} = 2.{\left( { - 4} \right)^4} = 512.\end{array} \right.$

Cấp số nhân: $\dfrac{1}{2}{\rm{; }}\dfrac{1}{4}{\rm{; }}\dfrac{1}{8}{\rm{; }} \cdots {\rm{; }}\dfrac{1}{{4096}}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{2^n}}}$

${u_n} = \dfrac{1}{{4096}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{2^n}}} = \dfrac{1}{{{2^{12}}}} \Leftrightarrow n = 12$

$192 = {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{.2^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 1} \right)^6}{.2^6} \Leftrightarrow n = 7.$ Chọn C.

Ta có cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có:

$\,\left\{ \begin{array}{l}{u_k} = 16\\{u_{k + 1}} = 36\end{array} \right. \Rightarrow q = \dfrac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} = \dfrac{9}{4}$$\Rightarrow {u_{k + 2}} = {u_{k + 1}}q = 81$

Dãy ${u_n} = \dfrac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 9.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Dãy ${u_n} = {7.3^n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\q = 3\end{array} \right.$

Ta có: ${u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{9}{3} = 3$.

Theo giải thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_6} = 486\end{array} \right.$$\Rightarrow 486 = {u_6} = {u_1}{q^5} = 2{q^5}$ $\Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3$

Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là $\dfrac{a}{q},a,aq.$

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là $V = \dfrac{a}{q}.a.qa = {a^3} = 125 \Rightarrow a = 5.$

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

${S_{tp}} = 2\left( {\dfrac{a}{q}.a + a.aq + aq.\dfrac{a}{q}} \right)$$= 2{a^2}\left( {1 + q + \dfrac{1}{q}} \right) = 50\left( {1 + q + \dfrac{1}{q}} \right).$

Theo giả thiết, ta có $50\left( {1 + q + \dfrac{1}{q}} \right) = 175$$\Leftrightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = 2}\\{q = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right..$

Với $q = 2$ hoặc $q = \dfrac{1}{2}$ thì kích thước của hình hộp chữ nhật là $2,5cm;5cm;10cm.$

Suy ra tổng của ba kích thước này là $2,5 + 5 + 10 = 17,5$ cm.

Vậy phương án đúng là D.

+ Ba số $x + 6y,5x + 2y,8x + y$ lập thành cấp số cộng nên $\left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right) = 2\left( {5x + 2y} \right) \Leftrightarrow x = 3y$.

+ Ba số $x + \dfrac{5}{3},y - 1,2x - 3y$ lập thành cấp số nhân nên $\left( {x + \dfrac{5}{3}} \right)\left( {2x - 3y} \right) = {\left( {y - 1} \right)^2}$.

Thay $x = 3y$ vào ta được $8{y^2} + 7y - 1 = 0 \Leftrightarrow y =  - 1$ hoặc $y = \dfrac{1}{8}$.

Với $y =  - 1$ thì $x =  - 3$; với $y = \dfrac{1}{8}$ thì $x = \dfrac{3}{8}$.

Giả sử $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân công bội $q,$ thì

Dãy ${u_1}{\rm{; }}{u_3}{\rm{; }}{u_5}{\rm{; }}...$là cấp số nhân công bội ${q^2}.$

Dãy $3{u_1}{\rm{; }}3{u_2};{\rm{ }}3{u_3}{\rm{; }}...$là cấp số nhân công bội $3q.$

Dãy $\dfrac{1}{{{u_1}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }}...$là cấp số nhân công bội $\dfrac{1}{q}.$

Dãy ${u_1} + 2;{\rm{ }}{u_2} + 2;{\rm{ }}{u_3} + 2;{\rm{ }}...$không phải là cấp số nhân.

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có $x + z = 2y$.

Kết hợp với giả thiết $x + y + z = 21$, ta suy ra $3y = 21 \Leftrightarrow y = 7$.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng thì $x = y - d = 7 - d$ và $z = y + d = 7 + d$.

Sau khi thêm các số $2;3;9$ vào ba số $x,y,z$ ta được ba số là $x + 2,y + 3,z + 9$ hay $9 - d,10,16 + d$.

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $\left( {9 - d} \right)\left( {16 + d} \right) = {10^2} \Leftrightarrow {d^2} + 7d - 44 = 0$.

Giải phương trình ta được $d =  - 11$ hoặc $d = 4$.

Với $d =  - 11$, cấp số cộng $18,7, - 4$. Lúc này $F = 389$.

Với $d = 4$, cấp số cộng $3,7,11$. Lúc này $F = 179$.

Bước 1: Lập công thức truy hồi tính diện tích.

Gọi diện tích hình vuông đầu tiên là ${S_1}$. Suy ra hình vuông thứ 2 có diện tích là $\dfrac{1}{2}{S_1}$, hình vuông thứ 3 có diện tích là $\dfrac{1}{2}{S_2} = \dfrac{1}{{{2^2}}}{S_1}$. Cứ như vậy, hình vuông thứ 6 có diện tích là $\dfrac{1}{{{2^5}}}{S_1}$.

Diện tích phần sơn xanh bằng diện tích phần sơn hồng và bằng $\dfrac{1}{8}$ diện tích mỗi hình vuông tương ứng.

Bước 2: Tính tổng diện tích và tổng tiền.

Suy ra tổng diện tích phần cần sơn xanh bằng tổng diện tích phần cần sơn hồng và bằng $S = \dfrac{1}{8}{S_1}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{2^5}}}} \right) = \dfrac{{1575}}{{256}}$.

Số tiền cần để mua sơn là $T = S$. $(100000 + 1,5.100000) \approx 1538085,94$ đồng.

Đặt ${M_0} = {10^8}$ (đồng) và $r = 7\%  = 0,07.$

Gọi ${M_n}$ là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau $n$ năm.

Theo giả thiết, ta có ${M_{n + 1}} = {M_n} + {M_n}.r = {M_n}\left( {1 + r} \right),\forall n \ge 1.$

Do đó dãy số $\left( {{M_n}} \right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu ${M_0}$ và công bội $q = 1 + r.$

Suy ra ${M_n} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^n}.$

Vì vậy, sau $10$ năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là

${M_{10}} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^{10}} = {10^8}.{\left( {1,07} \right)^{10}} \approx 196715000.$

Vậy phương án đúng là A.