Cấp số nhân

Ta có: \({u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{15}}{3} = 5\).

Bước 1:

Gọi \(x,y,z(\;{\rm{cm}};x,y,z > 0)\) số đo ba cạnh của hình hộp chữ nhật.

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{y = x.q}\\{z = x.{q^2}}\end{array}\quad (q > 0)} \right.\).

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là \(V = x.y.z = {x^3} \cdot {q^3} = 125\)\( \Rightarrow x.q = 5\)

Bước 2: Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2(x.y + y.z + z.x)\\ = 2{x^2} \cdot q + 2{x^2} \cdot {q^2} + 2{x^2} \cdot {q^3}\\ = 150\end{array}\)

\( \Rightarrow x = y = z = 5\)

Suy ra tổng của ba kích thước này là \(5 + 5 + 5 = 15(\;{\rm{cm}})\).

Ta có: \({u_2} = {u_1}.q \Rightarrow q = \dfrac{{10}}{2} = 5\)

Cấp số nhân: \(1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16;\,\,32; \ldots \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\q =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\{u_2} = {u_1}q = 10\\{u_3} = {u_2}q =  - 50\\{u_4} = {u_3}q = 250\end{array} \right.\)

Chọn B.

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} =  - 8 = {u_1}q = 2q\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q =  - 4\\{S_5} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}}}{{1 + 4}} = 410\\{S_6} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} \right)}^6}}}{{1 + 4}} =  - 1638\\{u_5} = {u_1}{q^4} = 2.{\left( { - 4} \right)^4} = 512.\end{array} \right.\)

Cấp số nhân: \(\dfrac{1}{2}{\rm{; }}\dfrac{1}{4}{\rm{; }}\dfrac{1}{8}{\rm{; }} \cdots {\rm{; }}\dfrac{1}{{4096}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{2^n}}}\)

\({u_n} = \dfrac{1}{{4096}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{2^n}}} = \dfrac{1}{{{2^{12}}}} \Leftrightarrow n = 12\)

\(192 = {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{.2^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 1} \right)^6}{.2^6} \Leftrightarrow n = 7.\) Chọn C.

Ta có cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}{u_k} = 16\\{u_{k + 1}} = 36\end{array} \right. \Rightarrow q = \dfrac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} = \dfrac{9}{4}\)\( \Rightarrow {u_{k + 2}} = {u_{k + 1}}q = 81\)

Dãy \({u_n} = \dfrac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 9.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^n}\) là cấp số nhân có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

Dãy \({u_n} = {7.3^n}\) là cấp số nhân có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\q = 3\end{array} \right.\)

Ta có: \({u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{9}{3} = 3\).

Theo giải thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_6} = 486\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 486 = {u_6} = {u_1}{q^5} = 2{q^5}\) \( \Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3\)

Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là \(\dfrac{a}{q},a,aq.\)

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là \(V = \dfrac{a}{q}.a.qa = {a^3} = 125 \Rightarrow a = 5.\)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

\({S_{tp}} = 2\left( {\dfrac{a}{q}.a + a.aq + aq.\dfrac{a}{q}} \right)\)\( = 2{a^2}\left( {1 + q + \dfrac{1}{q}} \right) = 50\left( {1 + q + \dfrac{1}{q}} \right).\)

Theo giả thiết, ta có \(50\left( {1 + q + \dfrac{1}{q}} \right) = 175\)\( \Leftrightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = 2}\\{q = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right..\)

Với \(q = 2\) hoặc \(q = \dfrac{1}{2}\) thì kích thước của hình hộp chữ nhật là \(2,5cm;5cm;10cm.\)

Suy ra tổng của ba kích thước này là \(2,5 + 5 + 10 = 17,5\) cm.

Vậy phương án đúng là D.

+ Ba số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng nên \(\left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right) = 2\left( {5x + 2y} \right) \Leftrightarrow x = 3y\).

+ Ba số \(x + \dfrac{5}{3},y - 1,2x - 3y\) lập thành cấp số nhân nên \(\left( {x + \dfrac{5}{3}} \right)\left( {2x - 3y} \right) = {\left( {y - 1} \right)^2}\).

Thay \(x = 3y\) vào ta được \(8{y^2} + 7y - 1 = 0 \Leftrightarrow y =  - 1\) hoặc \(y = \dfrac{1}{8}\).

Với \(y =  - 1\) thì \(x =  - 3\); với \(y = \dfrac{1}{8}\) thì \(x = \dfrac{3}{8}\).

Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân công bội \(q,\) thì

Dãy \({u_1}{\rm{; }}{u_3}{\rm{; }}{u_5}{\rm{; }}...\)là cấp số nhân công bội \({q^2}.\)

Dãy \(3{u_1}{\rm{; }}3{u_2};{\rm{ }}3{u_3}{\rm{; }}...\)là cấp số nhân công bội \(3q.\)

Dãy \(\dfrac{1}{{{u_1}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }}...\)là cấp số nhân công bội \(\dfrac{1}{q}.\)

Dãy \({u_1} + 2;{\rm{ }}{u_2} + 2;{\rm{ }}{u_3} + 2;{\rm{ }}...\)không phải là cấp số nhân.

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có \(x + z = 2y\).

Kết hợp với giả thiết \(x + y + z = 21\), ta suy ra \(3y = 21 \Leftrightarrow y = 7\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng thì \(x = y - d = 7 - d\) và \(z = y + d = 7 + d\).

Sau khi thêm các số \(2;3;9\) vào ba số \(x,y,z\) ta được ba số là \(x + 2,y + 3,z + 9\) hay \(9 - d,10,16 + d\).

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có \(\left( {9 - d} \right)\left( {16 + d} \right) = {10^2} \Leftrightarrow {d^2} + 7d - 44 = 0\).

Giải phương trình ta được \(d =  - 11\) hoặc \(d = 4\).

Với \(d =  - 11\), cấp số cộng \(18,7, - 4\). Lúc này \(F = 389\).

Với \(d = 4\), cấp số cộng \(3,7,11\). Lúc này \(F = 179\).

Bước 1: Lập công thức truy hồi tính diện tích.

Gọi diện tích hình vuông đầu tiên là \({S_1}\). Suy ra hình vuông thứ 2 có diện tích là \(\dfrac{1}{2}{S_1}\), hình vuông thứ 3 có diện tích là \(\dfrac{1}{2}{S_2} = \dfrac{1}{{{2^2}}}{S_1}\). Cứ như vậy, hình vuông thứ 6 có diện tích là \(\dfrac{1}{{{2^5}}}{S_1}\).

Diện tích phần sơn xanh bằng diện tích phần sơn hồng và bằng \(\dfrac{1}{8}\) diện tích mỗi hình vuông tương ứng.

Bước 2: Tính tổng diện tích và tổng tiền.

Suy ra tổng diện tích phần cần sơn xanh bằng tổng diện tích phần cần sơn hồng và bằng \(S = \dfrac{1}{8}{S_1}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{2^5}}}} \right) = \dfrac{{1575}}{{256}}\).

Số tiền cần để mua sơn là \(T = S\). \((100000 + 1,5.100000) \approx 1538085,94\) đồng.

Đặt \({M_0} = {10^8}\) (đồng) và \(r = 7\%  = 0,07.\)

Gọi \({M_n}\) là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau \(n\) năm.

Theo giả thiết, ta có \({M_{n + 1}} = {M_n} + {M_n}.r = {M_n}\left( {1 + r} \right),\forall n \ge 1.\)

Do đó dãy số \(\left( {{M_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({M_0}\) và công bội \(q = 1 + r.\)

Suy ra \({M_n} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^n}.\)

Vì vậy, sau \(10\) năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là

\({M_{10}} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^{10}} = {10^8}.{\left( {1,07} \right)^{10}} \approx 196715000.\)

Vậy phương án đúng là A.