Câu hỏi:
2 năm trước
Ba số \(x,y,z\) lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số \(2;3;9\) vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính \(F = {x^2} + {y^2} + {z^2}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có \(x + z = 2y\).
Kết hợp với giả thiết \(x + y + z = 21\), ta suy ra \(3y = 21 \Leftrightarrow y = 7\).
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng thì \(x = y - d = 7 - d\) và \(z = y + d = 7 + d\).
Sau khi thêm các số \(2;3;9\) vào ba số \(x,y,z\) ta được ba số là \(x + 2,y + 3,z + 9\) hay \(9 - d,10,16 + d\).
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có \(\left( {9 - d} \right)\left( {16 + d} \right) = {10^2} \Leftrightarrow {d^2} + 7d - 44 = 0\).
Giải phương trình ta được \(d = - 11\) hoặc \(d = 4\).
Với \(d = - 11\), cấp số cộng \(18,7, - 4\). Lúc này \(F = 389\).
Với \(d = 4\), cấp số cộng \(3,7,11\). Lúc này \(F = 179\).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng tính chất CSC tìm số ở giữa.
- Gọi công sai của CSC là \(d\), biểu diễn các số hạng trong CSC theo \(d\).
- Kết hợp điều kiện bài cho và sử dụng tính chất CSN tìm \(d\).
- Từ đó tính \(x,y,z\) và kết luận.
