Cho hai hàm số \(u = u(x),v = v(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Mệnh đề nào sau đây sai ?
D sai vì \(\left( {u.v} \right)' = u'.v + v'.u\)
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \).
\(y' = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Bước 1:
\(y' = \left( {\sin 2x} \right)' = 2.\cos 2x\)
Bước 2:
\( \Rightarrow y'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 2.\cos \dfrac{\pi }{3} = 1\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) tại điểm $x = - 1$.
Ta có: $f'\left( x \right) = - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2$.
Suy ra $f'\left( { - 1} \right) = - 4{\left( { - 1} \right)^3} + 12{\left( { - 1} \right)^2} - 6\left( { - 1} \right) + 2 = 24$.
Đạo hàm cấp một của hàm số \(y = {\left( {1 - {x^3}} \right)^5}\) là:
Ta có : \(y' = 5{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}{\left( {1 - {x^3}} \right)^\prime } = - 15{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\) .
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 5\). Phương trình \(y' = 0\) có nghiệm là:
Ta có : \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 1;x = 3\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}\) đạo hàm của hàm số tại \(x = 1\) là:
Ta có : \(y' = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = - 5\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) bởi \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2}} \). Giá trị \(f'\left( 0 \right)\) bằng
Ta có : \(f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 0\)
\( \Rightarrow f'\left( 0 \right)\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {1 - 2{x^2}} .\)
Ta có \(y' = \dfrac{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 - 2{x^2}} }} = \dfrac{{ - 4x}}{{2\sqrt {1 - 2{x^2}} }} = \dfrac{{ - 2x}}{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}\).
Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1\), có đạo hàm là \({f^\prime }(x)\). Tập hợp những giá trị của \(x\) đề \({f^\prime }(x) = 0\) là
\({f^\prime }(x) = {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8;{f^\prime }(x) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \)
Chọn D.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) bởi \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}\). Giá trị của \(f'\left( { - 1} \right)\) bằng:
Bước 1:
Ta có : \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Bước 2:
\( \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = - \dfrac{1}{2}\).
Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}\). Phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) có tập nghiệm \(S\) là
\(\begin{array}{l}{f^\prime }(x) = \dfrac{{3{x^2}(x - 1) - {x^3}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \dfrac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}}.\)
Ta có \(y' = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right){{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{x^2} - 10x - 9}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x + 5}}.\)
Ta có \(y' = \dfrac{{ - {{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}\).
Hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đạo hàm là:
Ta có : \(y' = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan 2x + {\cot ^2}x\).
\(\begin{array}{l}y' = \left( {2x} \right)'.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}2x}} + 2.\cot x.\left( {\cot x} \right)'\\ = \dfrac{2}{{{{\cos }^2}2x}} + 2.\cot x.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{2}{{{{\cos }^2}2x}} - \dfrac{{2\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}\end{array}\)
Hàm số \(y = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{1 - x}}\) có đạo hàm là:
Ta có : \(y' = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {1 - x} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\) tại điểm \(x = - 1\) là:
Ta có : \(y' = 4{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime } = 8x{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\).
Khi đó $y'\left( { - 1} \right) = 8.\left( { - 1} \right){\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right]^3} = - 64$
Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình \(Q = {t^2}\). Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm \({t_0} = 4\) (dây) là?
Bước 1:
Cường độ dòng điện tức thời I(t) là đạo hàm của điện lượng Q(t).
=>Công thức tính cường độ dòng điện tức thời là \(I\left( t \right) = Q'\left( t \right) = 2t\)
Bước 2:
Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm \({t_0} = 4\) (dây) là \(I\left( 4 \right) = 2.4 = 8\left( A \right)\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}.\) Khi đó \(y'\left( 0 \right)\) bằng:
Ta có : \(y' = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^3}}}\)
\( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2}\).
