Đạo hàm của hàm số \(y = {x^3}\cos x\)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}y' = \left( {{x^3}\cos x} \right)'\\ = \left( {{x^3}} \right)'.\cos x + {x^3}.\left( {\cos x} \right)'\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l} = 3{x^2}\cos x + {x^3}\left( { - \sin x} \right)\\ = 3{x^2}\cos x - {x^3}\sin x\end{array}\)
Cho hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
Ta có : \(y' = 2\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^\prime }\)
\(\begin{array}{l}
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt x + 2}}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( { - 1 + \frac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2\left( {1 + \sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2.\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - \frac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}
\end{array}\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 1}}\). Biết \(y' = \dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Tính \(P = 2a + b\).
Bước 1:
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + 3x + 1 - {x^2} - x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 2;b = 3\\ \Rightarrow P = 2.2 + 3 = 7\end{array}\)
Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có quãng đường dịch chuyển \(S\left( t \right) = \dfrac{1}{2}g{t^2}\) với t là thời gian tính bằng giây (s) kể từ lúc vật bắt đầu rơi, S là quãng đường tính bằng mét \(\left( m \right),\,\,\;g{\rm{ = }}9,8{\rm{ }}m/{s^2}.\) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t=4s\) là
Bước 1:
Ta có: \(S\left( t \right) = \dfrac{1}{2}g{t^2}\)
\( \Rightarrow \) Vận tốc tức thời của vật đó được tính bởi công thức: \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = gt.\)
Bước 2:
\( \Rightarrow \) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t = 4s\) là: \(v\left( 4 \right) = 9,8.4 = 39,2\,\,\left( {m/s} \right).\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \cos 2x\) là
\(y' = - (2x)'.\sin 2x=- 2.\sin 2x\)
Đạo hàm của hàm số \(y = 4\sqrt x \) tại điểm \(x = 4\) bằng
Bước 1: Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
Bước 2: Thay x=4 vào tính đạo hàm.
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x - 2}}\) là
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)'.\left( {3x - 2} \right) - \left( {3x - 2} \right)'\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2.\left( {3x - 2} \right) - 3.\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{5}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x - x\cos x\) là
Bước 1:
\(\begin{array}{l}y' = \left( {\sin x - x\cos x} \right)' \\= \left( {\sin x} \right)' - \left( {x.\cos x} \right)'\\ = \left( {\sin x} \right)' - \left[ {x'.\cos x + x.\left( {\sin x} \right)'} \right]\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l} = \cos x - \left[ {1.\cos x + x.\left( { - \sin x} \right)} \right]\\ = x.\sin x\end{array}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x\) là
\(y' =2.\tan x.(\tan x)'\)\(= 2.\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \)\(= \dfrac{{2\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}\)
Cho \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(x\) sao cho \(f'\left( x \right) < 0\)
Bước 1:
\(f'(x) = 3{x^2} - 6x\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}f'(x) < 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0\\ \Leftrightarrow 0 < x < 2\end{array}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x + 3} \right)\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\\ = \dfrac{{1 - 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2018\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là:
Bước 1:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)
Bước 2:
\(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 1} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = x - \dfrac{4}{x}\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) bằng
\(y' = 1 + \dfrac{4}{{{x^2}}}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt x + {x^2} + 1\). Tính \(f'\left( 1 \right)\).
Bước 1:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 1.\sqrt x + x.\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + 2x\).
Bước 2:
\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 1 + \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}\)
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2018}}\) là:
Bước 1:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 2018{\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}.\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)'\)
Bước 2:
\( = 2018{\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}.\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = 2018.\dfrac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2019}}}}\)
Hàm số: \(y = \dfrac{{{x^4}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + 2021\) có đạo hàm là
\(\begin{array}{l}{y^\prime } = {\left( {\dfrac{1}{2}{x^4} - \dfrac{1}{3}{x^3} + x + 2021} \right)^\prime }\\ = \dfrac{1}{2}.4.{x^3} - \dfrac{1}{3}.3.{x^2} + 1\end{array}\)
\( = 2{x^3} - {x^2} + 1\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\left( {2x} \right)\). Tính \(f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right)\).
Bước 1:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 2\cos \left( {2x} \right)\left( {\cos \left( {2x} \right)} \right)'\)
Bước 2:
Vì \(\left( {\cos \left( {2x} \right)} \right)' = \left( { - 2\sin 2x} \right)\) nên \(f'\left( x \right) = 2\cos \left( {2x} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) = - 2\sin 4x\)
Bước 3:
\( \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) = - 2\sin \dfrac{\pi }{2} = - 2\)
Tính đạo hàm hàm số sau \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}\)
\(y = \dfrac{{2x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}\)\( \Rightarrow y' = \dfrac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + x + 3} \right) - \left( {2x + 3} \right){{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + x + 3} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 2{x^2} - 6x + 3}}{{{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2}}}\)
Tính đạo hàm hàm số sau \(y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {1 + {x^2}} \)
\(y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {1 + {x^2}} \)
\( \Rightarrow y' = {\left( {2x - 1} \right)^\prime }\sqrt {1 + {x^2}} \)\( + \left( {2x - 1} \right){\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)^\prime }\)
\( = 2\sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
\( = \dfrac{{4{x^2} - x + 2}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Cho hàm số \(y = f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). \(y'\) của hàm số là
\(y = f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\)
\( \Rightarrow y' = f'\left( x \right) = {x^2} + x - 12\)
