Tổng hợp câu hay và khó chương 1

Bước 1:

\(\begin{array}{l}y = \sqrt {{{\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)}^2} - 2\sin x + 2\sqrt 3 \cos x - m + 3} \\y = \sqrt {{{\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)}^2} - 2\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) - m + 3} \end{array}\)

Bước 2:

 Đặt \(t = \sin x - \sqrt 3 \cos x = 2\left( {\dfrac{1}{2}\sin x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\)\( = 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\) \( \Rightarrow  - 2 \le t \le 2\).

Bước 3:

Khi đó hàm số trở thành \(y = \sqrt {{t^2} - 2t - m + 3} \,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\,\,\left( * \right)\).

Để hàm số ban đầu xác định với mọi\(x \in \mathbb{R}\) thì hàm số xác định với mọi \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\).

Tức là \({t^2} - 2t - m + 3 \ge 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\).

Bước 4:

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t - m + 3\) trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) ta có BBT:

Để \({t^2} - 2t - m + 3 \ge 0\,\,\forall t \in \left[ { - 2;2} \right]\) thì \(2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2\).

Mà \(m\) nguyên dương \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\).

TXĐ: \(\mathbb{R}\).

Đặt \(P = \sqrt {1 + \sin x}  + \sqrt {1 + \cos x} \), $P \ge 0$. Suy ra

\({P^2} = 2 + \sin x + \cos x + 2\sqrt {1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x} \).

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 \,;\,\sqrt 2 } \right]\).

Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)\( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Do đó \({P^2} = 2 + t + 2\sqrt {1 + t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \)\( = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|\).

TH1: \( - \sqrt 2  \le t <  - 1\) thì:

\(\begin{array}{l}t + 1 < 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| =  - t - 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( { - t - 1} \right)\\ = 2 + t - \sqrt 2 t - \sqrt 2 \\ = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 \end{array}\)

Mà \( - \sqrt 2  \le t <  - 1\) nên:

\(\begin{array}{l} - \sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right) \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t > \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\left( { - 1} \right)\\ \Rightarrow  - \sqrt 2  + 2 \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t >  - 1 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow  - \sqrt 2  + 2 + 2 - \sqrt 2  \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2  >  - 1 + \sqrt 2  + 2 - \sqrt 2 \\ \Rightarrow 4 - 2\sqrt 2  \ge {P^2} > 1\\ \Rightarrow 1 < {P^2} \le 4 - 2\sqrt 2 \end{array}\)

TH2: \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) thì:

\(\begin{array}{l}t + 1 \ge 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| = t + 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( {t + 1} \right)\\ = 2 + t + \sqrt 2 t + \sqrt 2 \\ = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \end{array}\)

Mà \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) nên:

\(\begin{array}{l} - 1\left( {1 + \sqrt 2 } \right) \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ \Rightarrow  - 1 - \sqrt 2  \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2  + 2\\ \Rightarrow  - 1 - \sqrt 2  + 2 + \sqrt 2  \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2  \le \sqrt 2  + 2 + 2 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow 1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \end{array}\)

Từ 2 TH trên ta được \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \).

Mà \(P \ge 0\) nên \(1 \le P \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).

Phương trình có nghiệm khi \(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).

\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2{\sin ^2}x - \sin x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {{k_1},{k_2},{k_3} \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do \(x \in \left[ {0;20\pi } \right]\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le  - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi  \le 20\pi \\0 \le \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi  \le 20\pi \\0 \le \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi  \le 20\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{4} \le {k_1} \le \dfrac{{41}}{4}\\ - \dfrac{1}{{12}} \le {k_2} \le \dfrac{{119}}{{12}}\\ - \dfrac{5}{{12}} \le {k_3} \le \dfrac{{115}}{{12}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} \in \left\{ {1;2;3;...;10} \right\}\\{k_2} \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\\{k_3} \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\end{array} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;20\pi } \right]\) là:

\(S = \sum\limits_{{k_1} = 1}^{10} {\left( { - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi } \right) + } \)\(\sum\limits_{{k_2} = 0}^9 {\left( {\dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi } \right)} \)\( + \sum\limits_{{k_2} = 0}^9 {\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi } \right)} \)\( = 295\pi \) .

Ta có \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow 1 + \sin x + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Theo đề bài cho ta có \(0 < x < 100\pi \)\( \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  < 100\pi \)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{599}}{{12}}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4,....;48;49} \right\}\)

Vậy \(S = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi  + \dfrac{\pi }{6} + 2 \times 2\pi  + ...... + \dfrac{\pi }{6} + 49 \times 2\pi \)\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \left( {1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 49} \right)\)

\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \dfrac{{49\left( {49 + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{7375\pi }}{3}\).

Xét \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = m\pi \): Thay vào phương trình thấy không thỏa mãn

Xét \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m\pi \)

\(2\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {\cos 5x + \cos x} \right] + 2\cos 3x = 1\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos 5x + 2\sin x\cos 3x + 2\sin x\cos x = \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin 6x - \sin 4x} \right) + \left( {\sin 4x - \sin 2x} \right) + \sin 2x = \sin x\)

\( \Leftrightarrow \sin 6x = \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}\end{array} \right.\\x \ne m\pi \end{array} \right.{\rm{  }}\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\).

Biểu diễn các điểm của hai họ nghiệm \(x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\) và \(x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}\) trên đường tròn đơn vị ta thấy các điểm đều không trùng nhau. Do đó:

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\x \ne m\pi \\x \in \left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \left\{ { - 10; - 9; - 8;...14;15} \right\}\\k \notin \left\{ { - 10; - 5;0;5,10,15} \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)các giá trị \(x\) cần loại bỏ là \( - 4\pi ,\)\( - 2\pi ,\)\(0,\)\(2\pi ,\)\(4\pi ,\)\(6\pi \). Tổng các giá trị này là $6\pi $

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}\\x \ne m\pi \\x \in \left[ { - 4\pi ;6\pi } \right]\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}l \in \left\{ { - 14; - 13; - 12;...19;20} \right\}\\l \notin \left\{ { - 4; - 11;3;10;17} \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)các giá trị \(x\) cần loại bỏ là \( - \pi ,\)\( - 3\pi ,\)\(\pi ,\)\(3\pi ,\)\(5\pi \). Tổng các giá trị này là $5\pi $

Vậy tổng nghiệm $S = \left[ {\sum\limits_{k =  - 10}^{15} {\left( {\dfrac{{k2\pi }}{5}} \right)}  - \left( {6\pi } \right)} \right] + \left[ {\sum\limits_{l =  - 14}^{20} {\left( {\dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7}} \right)}  - 5\pi } \right] = 50\pi $.

Điều kiện \(\sin x\not  = 0\)

$\dfrac{{\sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x} }}{{\sin x}} = 4\cos x \Leftrightarrow \sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x}  = 4\sin x\cos x$

$ \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}  = 16{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Leftrightarrow 1 + \left| {\sin x} \right| = 8{\sin ^2}x\left( {1 - si{n^2}x} \right)\quad \left( 1 \right)$ (với \(\sin x.\cos x \ge 0\))

TH1: \(\sin x \ge 0\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x} \right)\left( {8{{\sin }^3}x - 8{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\sin x \ge 0} \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\)

*\(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \).

*\(\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\) vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \).

TH2: \(\sin x < 0\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( { - 8{{\sin }^3}x - 8{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\sin x < 0} \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - \dfrac{1}{2}\\\sin x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\)

*\(\sin x =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \).

*\(\sin x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)

vì \(\sin x.\cos x \ge 0\)nên \(x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi \).

Xét nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2017} \right]$:

*Với \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Với \(x = \arcsin \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi  = \dfrac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Với \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Với \(x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi  = \dfrac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi  \Rightarrow 0 \le \dfrac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi  \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320\) có $321$ nghiệm.

*Vậy có tổng cộng \(321.4 = 1284\) nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

Ta có: \(0 \le {\sin ^2}x \le 1;\) \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\) nên \(0 \le {\sin ^{2018}}x \le {\sin ^2}x;\) \(0 \le {\cos ^{2018}}x \le {\cos ^2}x\)

Do đó: \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)  hay \(y \le 1\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\sin x = 0\) hoặc \(\cos x = 0\)

Lại có, áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n},\left( {a,b > 0} \right)\) ta có:

\({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^{1009}} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^{1009}}\) \( \ge 2.{\left( {\dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{2}} \right)^{1009}} = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \({\sin ^2}x = {\cos ^2}x = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}},M = 1\)

Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left( { - 1;0} \right)\), phương trình trở thành: \(2{t^2} - (2m + 1)t + 2m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \(t \in \left( { - 1;0} \right)\)

Có \(a + b + c = 2 - \left( {2m + 1} \right) + 2m - 1 = 0\)  nên \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm \({t_1} = \dfrac{{2m - 1}}{2},{t_2} = 1\)

Bài toán thỏa \( \Leftrightarrow  - 1 < \dfrac{{2m - 1}}{2} < 0\) \( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{1}{2}\)

Ta có: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m}  = m\) suy ra \(m \ge 0\).

Đặt \(\sqrt {\cos x + m}  = t\), \(t \ge 0\). Phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + t = m\\{t^2} - \cos x = m\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \,\left( {{{\cos }^2}x - {t^2}} \right) + \left( {t + \cos x} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left( {\cos x + t} \right)\left( {\cos x - t + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - t\\\cos x - t + 1 = 0\end{array} \right.$

+) Trường hợp \(1\): \(\cos x =  - t\) \( \Rightarrow \sqrt {\cos x + m}  =  - \cos x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 0\\{\cos ^2}x - \cos x = m\end{array} \right.\)

Đặt \(u = \cos x\)\(\left( { - 1 \le u \le 0} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( u \right) = {u^2} - u\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\), có hoành độ đỉnh \(x = \dfrac{1}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\) và bảng biến thiên:

Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ {0;\,2} \right]\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;\,1;\,2} \right\}\).

+) Trường hợp \(2\): \(\cos x - t + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {\cos x + m}  = 1 + \cos x\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x + \,\cos x + 1 = m\).

Đặt $v = \cos x$, $ - 1 \le v \le 1$. Ta có \(m = {v^2} + v + 1 = g\left( v \right)\)

Hàm số bậc hai \(g\left( v \right)\) có hoành độ đỉnh \(v =  - \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]\) có bảng biến thiên :

Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ {\dfrac{3}{4};3} \right]\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).

Vậy có tất cả \(4\) số nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.

Ta có: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$

$ \Leftrightarrow {\sin ^{2015}}x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^{2016}}x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = \cos 2x$

$ \Leftrightarrow {\sin ^{2015}}x.\cos 2x + {\cos ^{2016}}x.\cos 2x = \cos 2x$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\{\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x = 1\end{array} \right.$.

Với $\cos 2x = 0$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow  - 10 \le \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2} \le 30$$ \Leftrightarrow  - \dfrac{{20}}{\pi } - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{{60}}{\pi } - \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow  - 6 \le k \le 18$.

Với ${\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x = 1$. Ta có ${\sin ^{2015}}x \le {\sin ^2}x;{\cos ^{2016}}x \le {\cos ^2}x$.

Do đó $1 = {\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ suy ra $\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0,\cos x =  \pm 1\\\sin x = 1,\cos x = 0\end{array} \right.$.

Nếu $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow  - 10 \le k\pi  \le 30$$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 10}}{\pi } \le k  \le \dfrac{{30}}{\pi }$ $ \Rightarrow  - 3 \le k \le 9$.

Nếu $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow  - 10 \le \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \le 30$$ \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{\pi } - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{{15}}{\pi } - \dfrac{1}{4}$$ \Rightarrow  - 1 \le k \le 4$.

Ngoài ra điểm diểu diễn các nghiệm của mỗi họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}; x = k\pi ; x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$ đều phân biệt nên các nghiệm thỏa bài toán là khác nhau.

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: $13 + 6 + 25 = 44$.

Ta có \(x \in \left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{\pi }{4} < x + \dfrac{\pi }{4} < \pi \)\( \Rightarrow 0 < \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\)\( \Rightarrow 0 < \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt[{}]{2}\).

Mặt khác \(\sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin x + \cos x\).

Đặt \(\sin x + \cos x = t\) với \(t \in \left( {0\,;\,\sqrt[{}]{2}} \right]\)\( \Rightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x = {t^2}\) \( \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\).

Nhận thấy với mỗi giá trị của \(t\) trong \(\left( {0;1} \right]\) hoặc \(t = \sqrt 2 \) thì đều có một giá trị của \(x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\), nếu \(t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right)\) thì sẽ có \(2\) giá trị của \(x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)

Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 1 + t - 2 = m \Leftrightarrow {t^2} + t - 3 = m\)\(\left( * \right)\).

Xét \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 3\) với \(t \in \left( {0\,;\,\sqrt[{}]{2}} \right]\) có đồ thị là parabol, hoành độ đỉnh \(t =  - \dfrac{1}{2} \notin \left( {0;\sqrt 2 } \right]\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình \(\left( * \right)\) có nhiều nhất một nghiệm \(t\).

Do đó để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực \(x\) thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\) thì $\left[ \begin{array}{l}t = \sqrt[{}]{2}\\0 < t \le 1\end{array} \right.$.

Với \(t = \sqrt[{}]{2}\) thay vào phương trình \(\left( * \right)\): \(2 + \sqrt[{}]{2} - 3 = m\)\( \Leftrightarrow m = \sqrt[{}]{2} - 1 \notin \mathbb{Z}\).

Với $0 < t \le 1$ ta có bảng biến thiên

Vậy \( - 3 < m \le  - 1\)\( \Rightarrow \) có \(2\) giá trị nguyên của \(m\) là \( - 2\) và \( - 1\).

Ta có: \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) - m\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left[ {\cos 4x - m\cos x - m\left( {1 - \cos x} \right)} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\\cos 4x = m\end{array} \right.\).

Xét phương trình \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình \(\cos x =  - 1\) không có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).

Xét $\cos 4x = m$. Ta có \(x \in \left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right] \Leftrightarrow 4x \in \left[ {0;\,\dfrac{{8\pi }}{3}} \right]\).

Quan sát hình vẽ ta thấy,

Với \(4x \in \left[ {0\,;\,2\pi } \right]\backslash \left\{ \pi  \right\}\) và $m \in \left( { - 1\,;\,1} \right]$ phương trình $\cos 4x = m$ có $2$ nghiệm.

Với \(4x \in \left( {2\pi \,;\,\dfrac{{8\pi }}{3}} \right]\) và $m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)$ phương trình $\cos 4x = m$ có $1$ nghiệm.

Vậy phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\) khi $m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)$.

Phương trình đã cho tương đương với \(\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right)\quad \left(  *  \right)\).

Ta biết rằng hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Ta chỉ ra rằng các hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 6}}\) và \(g\left( x \right) = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}\) nhận giá trị trong khoảng này.

Thật vậy, ta có \(\left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right| \le \left| {\dfrac{x}{{2\sqrt {6{x^2}} }}} \right| = \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}\)

và \(0 < \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}} = \dfrac{{80}}{{{{\left( {x + 16} \right)}^2} + 76}} \le \dfrac{{80}}{{76}} < \dfrac{\pi }{2}\)

Từ các đánh giá trên, \(\left(  *  \right)\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\dfrac{x}{{{x^2} + 6}} = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}\) \( \Leftrightarrow {x^3} - 48{x^2} + 332x - 480 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\\x = 40\end{array} \right.\).

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(2 + 6 + 40 = 48\).

Ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\)

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x + 1} \right) \ge 0\\{\sin ^3}x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x - 1} \right) \le 0\end{array}\)

Do đó \( - {\sin ^2}x \le {\sin ^3}x \le {\sin ^2}x\)

Tương tự \( - {\cos ^2}x \le {\cos ^3}x \le {\cos ^2}x\)

\( \Rightarrow  - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x \le y \le 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x =  - 1 - {\sin ^2}x \ge  - 1 - 1 =  - 2\\2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 + {\sin ^2}x \le 1 + 1 = 2\end{array} \right.\)  nên \( - 2 \le y \le 2\)

Vậy \(M = 2\) đạt được khi \(\sin x = 1,\cos x = 0\)

 \(m =  - 2\) đạt được khi \(\sin x =  - 1,\cos x = 0\)

Do đó \({M^2} + {m^2} = 8\)