Số nghiệm của phương trình: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$ trên $\left[ { - 10;30} \right]$ là:

Ta có: ${\sin ^{2015}}x - {\cos ^{2016}}x = 2\left( {{{\sin }^{2017}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) + \cos 2x$

$ \Leftrightarrow {\sin ^{2015}}x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^{2016}}x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = \cos 2x$

$ \Leftrightarrow {\sin ^{2015}}x.\cos 2x + {\cos ^{2016}}x.\cos 2x = \cos 2x$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\{\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x = 1\end{array} \right.$.

Với $\cos 2x = 0$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow  - 10 \le \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2} \le 30$$ \Leftrightarrow  - \dfrac{{20}}{\pi } - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{{60}}{\pi } - \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow  - 6 \le k \le 18$.

Với ${\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x = 1$. Ta có ${\sin ^{2015}}x \le {\sin ^2}x;{\cos ^{2016}}x \le {\cos ^2}x$.

Do đó $1 = {\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ suy ra $\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0,\cos x =  \pm 1\\\sin x = 1,\cos x = 0\end{array} \right.$.

Nếu $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow  - 10 \le k\pi  \le 30$$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 10}}{\pi } \le k  \le \dfrac{{30}}{\pi }$ $ \Rightarrow  - 3 \le k \le 9$.

Nếu $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ { - 10;30} \right]$$ \Rightarrow  - 10 \le \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \le 30$$ \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{\pi } - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{{15}}{\pi } - \dfrac{1}{4}$$ \Rightarrow  - 1 \le k \le 4$.

Ngoài ra điểm diểu diễn các nghiệm của mỗi họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}; x = k\pi ; x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$ đều phân biệt nên các nghiệm thỏa bài toán là khác nhau.

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: $13 + 6 + 25 = 44$.